Esboce as curvas de nível da função para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar as curvas de nível da função para os valores , e . Isso envolve conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são ferramentas para visualizar como uma função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, resolvemos a equação para encontrar a curva correspondente.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , temos que as curvas de nível são dadas por:
Isso significa que para cada valor de , teremos uma linha reta no plano .

Passo 4

Vamos resolver a equação para :
Essa é a equação de uma reta com inclinação 1 e intercepto no eixo . Ou seja, para cada valor de , a reta se desloca verticalmente.

Passo 5

Agora, vamos esboçar as curvas de nível para os valores dados de :
  • Para :
    Esta é a reta que passa pela origem com inclinação 1.
  • Para :
    Uma reta paralela a mas deslocada 2 unidades para cima.
  • Para :
    Outra reta paralela, agora deslocada 4 unidades para cima.

Passo 6

Visualizando as três retas:
  • Todas têm a mesma inclinação, então são paralelas.
  • À medida que aumenta, as retas se movem para cima no plano .
Isso nos dá uma boa ideia de como as curvas de nível se comportam para diferentes valores de .

Resposta

As curvas de nível da função para , e são três retas paralelas dadas por:
Essas retas têm inclinação 1 e estão deslocadas verticalmente conforme o valor de .

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8
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