Esboce as curvas de nível da função
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar as curvas de nível da função
para os valores
,
e
. Isso envolve conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são ferramentas para visualizar como uma função se comporta em diferentes pontos do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis
é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja, resolvemos a equação
para encontrar a curva correspondente.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, temos que as curvas de nível são dadas por:
Isso significa que para cada valor de
, teremos uma linha reta no plano
.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para
:
Essa é a equação de uma reta com inclinação 1 e intercepto
no eixo
. Ou seja, para cada valor de
, a reta se desloca verticalmente.
Passo 5
Agora, vamos esboçar as curvas de nível para os valores dados de
:
-
Para
: Esta é a reta que passa pela origem com inclinação 1. -
Para
: Uma reta paralela amas deslocada 2 unidades para cima. -
Para
: Outra reta paralela, agora deslocada 4 unidades para cima.
Passo 6
Visualizando as três retas:
- Todas têm a mesma inclinação, então são paralelas.
- À medida que
aumenta, as retas se movem para cima no plano .
Isso nos dá uma boa ideia de como as curvas de nível se comportam para diferentes valores de
.
Resposta
As curvas de nível da função
para
,
e
são três retas paralelas dadas por:
Essas retas têm inclinação 1 e estão deslocadas verticalmente conforme o valor de
.
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8
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em que
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