Use o Teorema da divergência de Gauss para calcular
onde
é a esfera unitária
(vetor normal apontando para fora).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície
usando o Teorema da Divergência de Gauss. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo no volume limitado pela superfície. Vamos precisar definir um campo vetorial adequado e calcular sua divergência para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher um campo vetorial
que, quando calcularmos o produto escalar
(onde
é o vetor normal à superfície
), resulte na função
que está na integral de superfície. Isso é essencial para aplicar o Teorema da Divergência.
Passo 3
Vamos definir o campo vetorial
de forma que
na superfície
. Sabemos que, para a esfera unitária
, o vetor normal
é
. Então, queremos que:
Podemos escolher
, pois:
Passo 4
Agora, vamos calcular a divergência de
, que é dada por:
Substituindo
:
Então,
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência:
Substituindo
:
A integral do lado direito é simplesmente o volume da esfera unitária, que sabemos ser
.
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
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Resp:
Esboce as curvas de nível da função
para
.
8
Resolva o PVI
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em que