Use o Teorema da divergência de Gauss para calcular
onde é a esfera unitária (vetor normal apontando para fora).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície usando o Teorema da Divergência de Gauss. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo no volume limitado pela superfície. Vamos precisar definir um campo vetorial adequado e calcular sua divergência para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher um campo vetorial que, quando calcularmos o produto escalar (onde é o vetor normal à superfície ), resulte na função que está na integral de superfície. Isso é essencial para aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 3

Vamos definir o campo vetorial de forma que na superfície . Sabemos que, para a esfera unitária , o vetor normal é . Então, queremos que:
Podemos escolher , pois:

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência de , que é dada por:
Substituindo :
Então,

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência:
Substituindo :
A integral do lado direito é simplesmente o volume da esfera unitária, que sabemos ser .

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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Esboce as curvas de nível da função para .
8
Resolva o PVI
em que