Use o Teorema da divergência de Gauss para calcular
integral duplaS(x^2+y+z) d S
onde S é a esfera unitária x^2+y^2+z^2=1 (vetor normal apontando para fora).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície usando o Teorema da Divergência de Gauss. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo no volume limitado pela superfície. Vamos precisar definir um campo vetorial adequado e calcular sua divergência para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher um campo vetorial que, quando calcularmos o produto escalar (onde é o vetor normal à superfície ), resulte na função que está na integral de superfície. Isso é essencial para aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 3

Vamos definir o campo vetorial F cdot n = Fx x + Fy y + Fz z = x^2 + y + z de forma que (x)(x) + (1)(y) + (1)(z) = x^2 + y + z na superfície . Sabemos que, para a esfera unitária , o vetor normal é . Então, queremos que:
Podemos escolher , pois:

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência de div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z , que é dada por:
partial Fxpartial x = partial xpartial x = 1 partial Fypartial y = partial 1partial y = 0 partial Fzpartial z = partial 1partial z = 0
Substituindo div , F = 1 + 0 + 0 = 1 :
Então,

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV div , F , dV
Substituindo integral duplaS (x^2 + y + z) , dS = integral triplaV 1 , dV :
A integral do lado direito é simplesmente o volume da esfera unitária, que sabemos ser .

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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