Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível para a função nos níveis e . Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas representam a função em diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Basicamente, é como se estivéssemos “cortando” o gráfico da função em diferentes alturas e observando a forma que essa interseção assume no plano .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Para encontrar as curvas de nível para e , vamos substituir por esses valores:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos analisar essas equações. Ambas são equações de hipérboles. Uma hipérbole é uma curva que aparece quando temos uma relação de produto constante entre e .
  • Para , a hipérbole está no primeiro e terceiro quadrantes, pois tanto quanto são positivos ou ambos negativos.
  • Para , a hipérbole está no segundo e quarto quadrantes, pois um dos valores é positivo e o outro é negativo.

Passo 5

Vamos desenhar essas hipérboles:
  1. Curva de nível :
    • Quando ,
    • Quando ,
    • A hipérbole passa pelos pontos e
  2. Curva de nível :
    • Quando ,
    • Quando ,
    • A hipérbole passa pelos pontos e

Resposta

As curvas de nível para a função são hipérboles. Para , a hipérbole está nos quadrantes I e III, passando pelos pontos e . Para , a hipérbole está nos quadrantes II e IV, passando pelos pontos e .

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e .
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.