Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível para a função
nos níveis
e
. Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas representam a função em diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante
. Basicamente, é como se estivéssemos “cortando” o gráfico da função em diferentes alturas
e observando a forma que essa interseção assume no plano
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Para encontrar as curvas de nível para
e
, vamos substituir
por esses valores:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos analisar essas equações. Ambas são equações de hipérboles. Uma hipérbole é uma curva que aparece quando temos uma relação de produto constante entre
e
.
- Para
, a hipérbole está no primeiro e terceiro quadrantes, pois tanto quanto são positivos ou ambos negativos. - Para
, a hipérbole está no segundo e quarto quadrantes, pois um dos valores é positivo e o outro é negativo.
Passo 5
Vamos desenhar essas hipérboles:
-
Curva de nível
: - Quando
, - Quando
, - A hipérbole passa pelos pontos
e
- Quando
-
Curva de nível
: - Quando
, - Quando
, - A hipérbole passa pelos pontos
e
- Quando
Resposta
As curvas de nível para a função
são hipérboles. Para
, a hipérbole está nos quadrantes I e III, passando pelos pontos
e
. Para
, a hipérbole está nos quadrantes II e IV, passando pelos pontos
e
.
Exercícios relacionados
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.
Considere a função
. Represente graficamente os valores de
e
para os quais
.
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.
Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.