Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar a superfície de nível da função para . Estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional e vamos precisar manipular a equação da função para encontrar a forma da superfície.

Passo 2

Primeiro, igualamos a função ao valor de :
Isso nos ajuda a isolar uma das variáveis para entender melhor a forma da superfície.

Passo 3

Vamos resolver a equação para :
Agora, a equação está na forma , onde é uma constante.

Passo 4

Reconhecemos que essa é a equação de um paraboloide circular. O termo indica que as seções horizontais da superfície são círculos, e o coeficiente de determina a abertura do paraboloide.

Passo 5

Para esboçar a superfície, podemos plotar vários valores de e e calcular correspondente. Por exemplo:
  • Quando e , .
  • Quando e , .
  • Quando e , .
Isso nos mostra que à medida que e aumentam, também aumenta, confirmando que a superfície se abre para cima.

Resposta

A superfície de nível é um paraboloide circular dado pela equação , que se abre para cima.

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Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e .
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e .
Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.
Seja . Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto .