Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar a superfície de nível da função
para
. Estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional e vamos precisar manipular a equação da função para encontrar a forma da superfície.
Passo 2
Primeiro, igualamos a função ao valor de
:
Isso nos ajuda a isolar uma das variáveis para entender melhor a forma da superfície.
Passo 3
Vamos resolver a equação para
:
Agora, a equação está na forma
, onde
é uma constante.
Passo 4
Reconhecemos que essa é a equação de um paraboloide circular. O termo
indica que as seções horizontais da superfície são círculos, e o coeficiente de
determina a abertura do paraboloide.
Passo 5
Para esboçar a superfície, podemos plotar vários valores de
e
e calcular
correspondente. Por exemplo:
- Quando
e , . - Quando
e , . - Quando
e , .
Isso nos mostra que à medida que
e
aumentam,
também aumenta, confirmando que a superfície se abre para cima.
Resposta
A superfície de nível
é um paraboloide circular dado pela equação
, que se abre para cima.
Exercícios relacionados
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.
Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.
Seja
. Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto
.