Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
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Passo 1
Então, vamos resolver a primeira equação diferencial:
. A matéria aqui é equações diferenciais não exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, como não é, encontrar um fator integrante para torná-la exata e assim resolver.
Passo 2
Primeiro, identificamos
e
. Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um fator integrante. Vamos tentar um fator que depende apenas de
. A fórmula para o fator é:
Mas isso complica, então vamos tentar um fator que depende apenas de
.
Passo 4
Tentando um fator
, temos:
Isso também não simplifica bem, então talvez precisemos reconsiderar.
Passo 5
Vamos então tentar um fator integrante do tipo
. Aplicando isso e igualando os coeficientes, encontramos
e
. Portanto, o fator é:
Passo 6
Multiplicando a equação original pelo fator:
Agora, a equação é exata.
Passo 7
Encontramos uma função
tal que:
Derivando
em relação a
:
Igualando:
Isso não faz sentido porque
não deveria depender de
. Parece que houve um erro na escolha do fator integrante. Vamos reconsiderar.
Passo 8
Na verdade, um fator integrante melhor seria
. Multiplicando:
Agora, verificamos a exatidão:
Ainda não é exata. Parece que precisamos de outro método, como dividir por
ou
.
Passo 9
Vamos agora para a segunda equação:
. Novamente, a matéria é equações diferenciais não exatas. Vamos verificar a exatidão e resolver de maneira didática.
Passo 10
Identificamos
e
. Calculando as derivadas parciais:
Como são diferentes (
), a equação não é exata.
Passo 11
Vamos buscar um fator integrante. Tentamos um fator que depende de
:
Portanto, o fator é
.
Passo 12
Multiplicando a equação original por
:
Agora, a equação é exata.
Passo 13
Encontramos uma função
tal que:
Derivando
em relação a
:
Igualando:
Passo 14
Então, a solução geral é:
Onde
é uma constante.
Passo 15
Vamos para a terceira equação:
. Ainda estamos lidando com equações diferenciais não exatas. Vamos verificar a exatidão e resolver passo a passo.
Passo 16
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 17
Vamos tentar encontrar um fator integrante. Supomos que o fator depende apenas de
. Assim:
Isso parece complicado, então vamos tentar um fator que depende apenas de
.
Passo 18
Tentando
:
Então, o fator é
.
Passo 19
Multiplicando a equação original por
:
Agora, a equação é exata.
Passo 20
Encontramos
tal que:
Derivando
em relação a
e igualando a
multiplicado por
, ajustamos
para encontrar a solução completa.
Passo 21
Agora, vamos resolver a quarta equação:
. Continuamos com as equações diferenciais não exatas.
Passo 22
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 23
Vamos buscar um fator integrante. Tentamos um fator que depende de
:
Então, o fator é
.
Passo 24
Multiplicando a equação original por
:
Agora, a equação é exata.
Passo 25
Encontramos
tal que:
Derivando
em relação a
:
Igualando:
Passo 26
Então, a solução geral é:
Onde
é uma constante.
Passo 27
Vamos para a quinta equação:
. Ainda estamos trabalhando com equações diferenciais não exatas.
Passo 28
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 29
Vamos tentar encontrar um fator integrante. Tentamos um fator que depende de
:
Isso não simplifica bem, então vamos tentar um fator que depende de
.
Passo 30
Tentando
:
Isso também não simplifica, então precisamos tentar outra abordagem.
Passo 31
Vamos considerar um fator do tipo
. Após aplicar e igualar os termos, encontramos
, então o fator é
.
Passo 32
Multiplicando a equação original por
:
Agora, a equação é exata.
Passo 33
Encontramos
tal que:
Derivando
em relação a
:
Igualando a
multiplicado por
:
Isso não faz sentido, pois
não deve depender de
. Parece que precisamos tentar outro fator.
Passo 34
Por fim, vamos para a sexta equação:
. Continuamos com equações diferenciais não exatas.
Passo 35
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 36
Vamos tentar encontrar um fator integrante. Suponhamos que o fator depende apenas de
:
Isso não simplifica, então tentamos um fator que depende de
.
Passo 37
Tentando
:
Então, o fator é
.
Passo 38
Multiplicando a equação original por
:
Agora, a equação é exata.
Passo 39
Encontramos
tal que:
Derivando
em relação a
:
Igualando a
multiplicado por
:
Isso não faz sentido, pois
não deve depender de
. Parece que precisamos de outro método.
Resposta
A tentativa de encontrar um fator integrante para esta equação também não foi bem-sucedida diretamente, indicando que métodos alternativos são necessários para resolvê-la.