Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(1) 6xy dx + (4y + 9x^2) dy = 0
(2) (2y^2 + 3x) dx + 2xy dy = 0
(3) y(x+y+1) dx + (x+2y) dy = 0
(4) (y+1) dx - x dy = 0
(5) y dx + (1-x) dy = 0
(6) (3x^2y - x^2) dx + dy = 0

Passo 1

Então, vamos resolver a primeira equação diferencial: . A matéria aqui é equações diferenciais não exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, como não é, encontrar um fator integrante para torná-la exata e assim resolver.

Passo 2

Primeiro, identificamos e . Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Agora, vamos encontrar um fator integrante. Vamos tentar um fator que depende apenas de . A fórmula para o fator é:
Mas isso complica, então vamos tentar um fator que depende apenas de .

Passo 4

Tentando um fator , temos:
Isso também não simplifica bem, então talvez precisemos reconsiderar.

Passo 5

Vamos então tentar um fator integrante do tipo . Aplicando isso e igualando os coeficientes, encontramos e . Portanto, o fator é:

Passo 6

Multiplicando a equação original pelo fator:
Agora, a equação é exata.

Passo 7

Encontramos uma função tal que:
Derivando em relação a :
Igualando:
Isso não faz sentido porque não deveria depender de . Parece que houve um erro na escolha do fator integrante. Vamos reconsiderar.

Passo 8

Na verdade, um fator integrante melhor seria . Multiplicando:
Agora, verificamos a exatidão:
Ainda não é exata. Parece que precisamos de outro método, como dividir por ou .

Passo 9

Vamos agora para a segunda equação: . Novamente, a matéria é equações diferenciais não exatas. Vamos verificar a exatidão e resolver de maneira didática.

Passo 10

Identificamos e . Calculando as derivadas parciais:
Como são diferentes ( ), a equação não é exata.

Passo 11

Vamos buscar um fator integrante. Tentamos um fator que depende de :
Portanto, o fator é .

Passo 12

Multiplicando a equação original por :
Agora, a equação é exata.

Passo 13

Encontramos uma função tal que:
Derivando em relação a :
Igualando:

Passo 14

Então, a solução geral é:
Onde é uma constante.

Passo 15

Vamos para a terceira equação: . Ainda estamos lidando com equações diferenciais não exatas. Vamos verificar a exatidão e resolver passo a passo.

Passo 16

Identificamos e . Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 17

Vamos tentar encontrar um fator integrante. Supomos que o fator depende apenas de . Assim:
Isso parece complicado, então vamos tentar um fator que depende apenas de .

Passo 18

Tentando :
Então, o fator é .

Passo 19

Multiplicando a equação original por :
Agora, a equação é exata.

Passo 20

Encontramos tal que:
Derivando em relação a e igualando a multiplicado por , ajustamos para encontrar a solução completa.

Passo 21

Agora, vamos resolver a quarta equação: . Continuamos com as equações diferenciais não exatas.

Passo 22

Identificamos e . Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 23

Vamos buscar um fator integrante. Tentamos um fator que depende de :
Então, o fator é .

Passo 24

Multiplicando a equação original por :
Agora, a equação é exata.

Passo 25

Encontramos tal que:
Derivando em relação a :
Igualando:

Passo 26

Então, a solução geral é:
Onde é uma constante.

Passo 27

Vamos para a quinta equação: . Ainda estamos trabalhando com equações diferenciais não exatas.

Passo 28

Identificamos e . Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 29

Vamos tentar encontrar um fator integrante. Tentamos um fator que depende de :
Isso não simplifica bem, então vamos tentar um fator que depende de .

Passo 30

Tentando :
Isso também não simplifica, então precisamos tentar outra abordagem.

Passo 31

Vamos considerar um fator do tipo . Após aplicar e igualar os termos, encontramos , então o fator é .

Passo 32

Multiplicando a equação original por :
Agora, a equação é exata.

Passo 33

Encontramos tal que:
Derivando em relação a :
Igualando a multiplicado por :
Isso não faz sentido, pois não deve depender de . Parece que precisamos tentar outro fator.

Passo 34

Por fim, vamos para a sexta equação: . Continuamos com equações diferenciais não exatas.

Passo 35

Identificamos e . Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 36

Vamos tentar encontrar um fator integrante. Suponhamos que o fator depende apenas de :
Isso não simplifica, então tentamos um fator que depende de .

Passo 37

Tentando :
Então, o fator é .

Passo 38

Multiplicando a equação original por :
Agora, a equação é exata.

Passo 39

Encontramos tal que:
Derivando em relação a :
Igualando a multiplicado por :
Isso não faz sentido, pois não deve depender de . Parece que precisamos de outro método.

Resposta

A tentativa de encontrar um fator integrante para esta equação também não foi bem-sucedida diretamente, indicando que métodos alternativos são necessários para resolvê-la.

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