(2 pontos) Determine o raio de convergência da série de potências .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências, que é uma soma infinita onde cada termo envolve uma potência de . A série dada é:
Nosso objetivo aqui é determinar o raio de convergência dessa série. Ou seja, queremos descobrir para quais valores de essa série vai “funcionar” ou, em outras palavras, onde a série vai convergir para um número finito.
Passo 2
Para encontrar o raio de convergência de uma série de potências, uma das ferramentas mais usadas é o Teste da Razão (ou Teste do Quociente). Esse teste nos ajuda a determinar o intervalo de valores de para os quais a série converge.
O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite
onde é o -ésimo termo da série.
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos an = (-1)^n+1 x^nn :