(2 pontos) Determine o raio de convergência da série de potências sumn=1^infty(-1)^n+1 x^nn.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências, que é uma soma infinita onde cada termo envolve uma potência de sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn . A série dada é:
Nosso objetivo aqui é determinar o raio de convergência dessa série. Ou seja, queremos descobrir para quais valores de essa série vai “funcionar” ou, em outras palavras, onde a série vai convergir para um número finito.

Passo 2

Para encontrar o raio de convergência de uma série de potências, uma das ferramentas mais usadas é o Teste da Razão (ou Teste do Quociente). Esse teste nos ajuda a determinar o intervalo de valores de L = limn to infty | an+1an | para os quais a série converge.
O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite
onde é o -ésimo termo da série.
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos an = (-1)^n+1 x^nn :
an+1 = (-1)^(n+1)+1 x^n+1n+1 = (-1)^n+2 x^n+1n+1
Agora, calculamos an+1an = (-1)^n+2 x^n+1n+1(-1)^n+1 x^nn = (-1) cdot x1 + 1n :
| an+1an | = | x1 + 1n |
Agora, montamos o quociente :
Observamos que o fator vai ficar na frente, mas como estamos interessados no valor absoluto, podemos ignorar o sinal negativo:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | x1 + 1n | = | x1 + 0 | = |x| tende ao infinito:
|x| < 1
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se , ou seja:
Isso significa que a série converge para todos os valores de cuja magnitude é menor que 1.

Passo 5

O raio de convergência |x| < 1 é justamente o valor tal que garante a convergência da série. No nosso caso, vimos que:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

O raio de convergência da série é .

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