Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
e queremos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar os conceitos de séries alternadas e alguns testes de convergência que estudamos em cálculo. Precisamos verificar algumas condições para saber o comportamento dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste é super útil quando a série tem termos que alternam sinais, como é o caso aqui por causa do
. O teste diz que se os termos positivos da série, ou seja,
, satisfazem três condições:
-
para todo . -
(a sequência é decrescente). -
.
Se as três condições forem verdadeiras, a série converge.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição:
é positivo? Sim! Para
, o logaritmo natural
é positivo e a raiz quadrada
também é positiva, então
.
Passo 4
Agora, a segunda condição: a sequência
é decrescente? Para isso, vamos olhar para a derivada da função
.
Calculando a derivada:
Para
(onde
é a base dos logaritmos naturais), essa derivada é negativa, o que significa que
está diminuindo conforme
aumenta. Ou seja,
.
Passo 5
Por fim, vamos verificar a terceira condição: o limite de
quando
tende ao infinito.
Isso acontece porque o logaritmo cresce mais lentamente que a raiz quadrada. Então, o limite é zero.
Resposta
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada foram satisfeitas, concluímos que a série
converge.