Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=0^infty(-1)^n ln nraizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série e queremos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar os conceitos de séries alternadas e alguns testes de convergência que estudamos em cálculo. Precisamos verificar algumas condições para saber o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste é super útil quando a série tem termos que alternam sinais, como é o caso aqui por causa do . O teste diz que se os termos positivos da série, ou seja, , satisfazem três condições:
  1. para todo .
  2. (a sequência é decrescente).
  3. .
Se as três condições forem verdadeiras, a série converge.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: é positivo? Sim! Para , o logaritmo natural é positivo e a raiz quadrada também é positiva, então .

Passo 4

Agora, a segunda condição: a sequência f'(n) = 1n raizn - ln n2 n^3/2 é decrescente? Para isso, vamos olhar para a derivada da função .
Calculando a derivada:
Para (onde é a base dos logaritmos naturais), essa derivada é negativa, o que significa que está diminuindo conforme aumenta. Ou seja, .

Passo 5

Por fim, vamos verificar a terceira condição: o limite de limn to infty ln nraizn = 0 quando tende ao infinito.
Isso acontece porque o logaritmo cresce mais lentamente que a raiz quadrada. Então, o limite é zero.

Resposta

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada foram satisfeitas, concluímos que a série converge.

Exercícios relacionados