Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva plana definida pela função paramétrica
para
entre -2 e 2. Vamos usar conceitos de equações paramétricas e como eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que definem a curva. A função paramétrica
tem duas partes:
Essas funções nos dizem como
e
mudam em relação a
.
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
para encontrar uma relação direta entre
e
. Para isso, vamos resolver uma das equações para
e substituir na outra.
Vamos resolver
para
:
Passo 4
Agora que expressamos
em termos de
, vamos substituir esse valor na equação de
:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Pronto! Eliminamos o parâmetro
e encontramos a equação cartesiana da curva:
Essa é a equação de uma reta com coeficiente angular
e intercepto em
.
Passo 6
Agora, vamos determinar os pontos que definem o esboço da curva usando os valores de
no intervalo dado:
-
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto:
Passo 7
Com esses pontos, sabemos que a curva é o segmento da reta
que vai de
até
. Além disso, como
aumenta de -2 para 2, a direção da curva vai de
para
. Vamos indicar isso com setas no esboço.
Resposta
A curva é uma reta definida pela equação
, representada pelo segmento que vai do ponto
até
com direção crescente conforme
aumenta.
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Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Seja
:
(b) Calcule , onde
é a elipse
orientada no sentido anti-horário.
(b) Calcule
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.