Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva plana definida pela função paramétrica para entre -2 e 2. Vamos usar conceitos de equações paramétricas e como eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que definem a curva. A função paramétrica tem duas partes:
Essas funções nos dizem como e mudam em relação a .

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre e . Para isso, vamos resolver uma das equações para e substituir na outra.
Vamos resolver para :

Passo 4

Agora que expressamos em termos de , vamos substituir esse valor na equação de :
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Pronto! Eliminamos o parâmetro e encontramos a equação cartesiana da curva:
Essa é a equação de uma reta com coeficiente angular e intercepto em .

Passo 6

Agora, vamos determinar os pontos que definem o esboço da curva usando os valores de no intervalo dado:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:

Passo 7

Com esses pontos, sabemos que a curva é o segmento da reta que vai de até . Além disso, como aumenta de -2 para 2, a direção da curva vai de para . Vamos indicar isso com setas no esboço.

Resposta

A curva é uma reta definida pela equação , representada pelo segmento que vai do ponto até com direção crescente conforme aumenta.

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Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Seja :
(b) Calcule , onde é a elipse orientada no sentido anti-horário.
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.