Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente tem uma curva definida pelas funções paramétricas , onde é um número real. Nosso objetivo é:
  1. Esboçar essa curva no plano.
  2. Mostrar com setas para qual direção a curva é percorrida quando aumenta.
  3. Eliminar o parâmetro para encontrar uma equação que relacione e diretamente, ou seja, uma equação cartesiana.
Para isso, vamos precisar entender de equações paramétricas e como eliminar o parâmetro para chegar à equação cartesiana.

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro . Temos as equações paramétricas:
Queremos relacionar e sem passar pelo . Veja que pode ser escrito em termos de :
Sabemos que , então podemos substituir por na equação de :
Então, a equação cartesiana que relaciona e é:

Passo 3

Agora que temos a equação cartesiana , reconhecemos que isso é uma parábola que abre para cima. Para esboçar a curva, podemos desenhar essa parábola no plano cartesiano.
Mas ainda falta indicar o sentido em que a curva é percorrida quando aumenta. Vamos analisar isso.

Passo 4

Vamos ver o que acontece com e conforme aumenta:
  • Para : , .
  • Para : Conforme aumenta, também aumenta, e consequentemente aumenta ainda mais.
  • Para : Mesmo que seja negativo, ainda é positivo, e também é positivo.
Então, para todos os valores de , a curva está sempre no primeiro quadrante (onde e são positivos). Além disso, conforme aumenta de para valores maiores, a posição na parábola vai do ponto para cima e para a direita.

Resposta

A curva definida por é a parábola , localizada no primeiro quadrante. Conforme o parâmetro aumenta, a trajetória na curva vai do ponto subindo para cima e para a direita. A direção do movimento é indicada com setas apontando para cima ao longo da parábola.

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