Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando t aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas. F(t) = (t^2, t^4), t pertence a R

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente tem uma curva definida pelas funções paramétricas , onde t é um número real. Nosso objetivo é:
  1. Esboçar essa curva no plano.
  2. Mostrar com setas para qual direção a curva é percorrida quando t aumenta.
  3. Eliminar o parâmetro t para encontrar uma equação que relacione x e y diretamente, ou seja, uma equação cartesiana.
Para isso, vamos precisar entender de equações paramétricas e como eliminar o parâmetro para chegar à equação cartesiana.

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro t. Temos as equações paramétricas:
Queremos relacionar x e y sem passar pelo t. Veja que y pode ser escrito em termos de x:
Sabemos que , então podemos substituir t^2 por x na equação de y:
Então, a equação cartesiana que relaciona x e y é:

Passo 3

Agora que temos a equação cartesiana , reconhecemos que isso é uma parábola que abre para cima. Para esboçar a curva, podemos desenhar essa parábola no plano cartesiano.
Mas ainda falta indicar o sentido em que a curva é percorrida quando t aumenta. Vamos analisar isso.

Passo 4

Vamos ver o que acontece com x e y conforme t aumenta:
  • Para : x = 0, .
  • Para : Conforme t aumenta, também aumenta, e consequentemente aumenta ainda mais.
  • Para : Mesmo que t seja negativo, ainda é positivo, e também é positivo.
Então, para todos os valores de t, a curva está sempre no primeiro quadrante (onde x e y são positivos). Além disso, conforme t aumenta de 0 para valores maiores, a posição na parábola vai do ponto (0,0) para cima e para a direita.

Resposta

A curva definida por é a parábola , localizada no primeiro quadrante. Conforme o parâmetro t aumenta, a trajetória na curva vai do ponto (0,0) subindo para cima e para a direita. A direção do movimento é indicada com setas apontando para cima ao longo da parábola.

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