Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente tem uma curva definida pelas funções paramétricas
, onde
é um número real. Nosso objetivo é:
- Esboçar essa curva no plano.
- Mostrar com setas para qual direção a curva é percorrida quando
aumenta. - Eliminar o parâmetro
para encontrar uma equação que relacione e diretamente, ou seja, uma equação cartesiana.
Para isso, vamos precisar entender de equações paramétricas e como eliminar o parâmetro para chegar à equação cartesiana.
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro
. Temos as equações paramétricas:
Queremos relacionar
e
sem passar pelo
. Veja que
pode ser escrito em termos de
:
Sabemos que
, então podemos substituir
por
na equação de
:
Então, a equação cartesiana que relaciona
e
é:
Passo 3
Agora que temos a equação cartesiana
, reconhecemos que isso é uma parábola que abre para cima. Para esboçar a curva, podemos desenhar essa parábola no plano cartesiano.
Mas ainda falta indicar o sentido em que a curva é percorrida quando
aumenta. Vamos analisar isso.
Passo 4
Vamos ver o que acontece com
e
conforme
aumenta:
- Para
: , . - Para
: Conforme aumenta, também aumenta, e consequentemente aumenta ainda mais. - Para
: Mesmo que seja negativo, ainda é positivo, e também é positivo.
Então, para todos os valores de
, a curva está sempre no primeiro quadrante (onde
e
são positivos). Além disso, conforme
aumenta de
para valores maiores, a posição na parábola vai do ponto
para cima e para a direita.
Resposta
A curva definida por
é a parábola
, localizada no primeiro quadrante. Conforme o parâmetro
aumenta, a trajetória na curva vai do ponto
subindo para cima e para a direita. A direção do movimento é indicada com setas apontando para cima ao longo da parábola.
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