Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar uma curva plana definida pela função paramétrica , e também eliminar o parâmetro para encontrar a equação cartesiana dessa curva. Além disso, precisamos indicar com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e de como transformar equações paramétricas em cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função paramétrica . Aqui, e . Isso significa que tanto quanto são iguais a para cada valor de .

Passo 3

Agora, para eliminar o parâmetro e encontrar a equação cartesiana, vamos relacionar e diretamente. Já que e , podemos simplesmente igualar as duas expressões:
Então, a equação cartesiana da curva é .

Passo 4

Vamos pensar no gráfico dessa equação . É uma reta que passa pela origem (0,0) e tem inclinação de 45 graus, ou seja, forma um ângulo de 45° com os eixos coordenados. Como varia em , o oscila entre -1 e 1. Portanto, a curva será desenhada entre os pontos (-1, -1) e (1, 1).

Passo 5

Sobre o sentido de percurso quando aumenta: Conforme aumenta, começando de , começa em 0, vai até 1 em , volta para 0 em , desce para -1 em e retorna a 0 em . Isso significa que o ponto se move da origem para (1,1), de volta para a origem, depois para (-1,-1) e retorna novamente à origem, repetindo esse ciclo.

Resposta

A curva é a reta , esboçada entre os pontos (-1, -1) e (1, 1), com setas indicando que o movimento percorre da origem para (1,1), retorna à origem, vai para (-1,-1) e volta novamente à origem conforme aumenta.

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