Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar uma curva plana definida pela função paramétrica
, e também eliminar o parâmetro
para encontrar a equação cartesiana dessa curva. Além disso, precisamos indicar com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e de como transformar equações paramétricas em cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função paramétrica
. Aqui,
e
. Isso significa que tanto
quanto
são iguais a
para cada valor de
.
Passo 3
Agora, para eliminar o parâmetro
e encontrar a equação cartesiana, vamos relacionar
e
diretamente. Já que
e
, podemos simplesmente igualar as duas expressões:
Então, a equação cartesiana da curva é
.
Passo 4
Vamos pensar no gráfico dessa equação
. É uma reta que passa pela origem (0,0) e tem inclinação de 45 graus, ou seja, forma um ângulo de 45° com os eixos coordenados. Como
varia em
, o
oscila entre -1 e 1. Portanto, a curva
será desenhada entre os pontos (-1, -1) e (1, 1).
Passo 5
Sobre o sentido de percurso quando
aumenta: Conforme
aumenta, começando de
,
começa em 0, vai até 1 em
, volta para 0 em
, desce para -1 em
e retorna a 0 em
. Isso significa que o ponto se move da origem para (1,1), de volta para a origem, depois para (-1,-1) e retorna novamente à origem, repetindo esse ciclo.
Resposta
A curva é a reta
, esboçada entre os pontos (-1, -1) e (1, 1), com setas indicando que o movimento percorre da origem para (1,1), retorna à origem, vai para (-1,-1) e volta novamente à origem conforme
aumenta.
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