Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer esboçar as superfícies de nível da função
para os valores
. Isso está relacionado ao estudo de superfícies de nível em cálculo multivariável, onde a gente olha para conjuntos de pontos que dão o mesmo valor para a função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Para uma função de três variáveis como essa, uma superfície de nível é todo o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Ou seja, estamos fixando o valor da função e vendo quais pontos no espaço dão esse valor.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso para cada valor de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Observando essas equações, percebemos que todas são equações de planos no espaço tridimensional. Eles têm a mesma inclinação porque os coeficientes de
,
e
são os mesmos, apenas o termo constante muda. Isso significa que as superfícies de nível são planos paralelos entre si, cada um deslocado um pouco em relação ao outro.
Resposta
As superfícies de nível da função
para os níveis
são três planos paralelos dados por:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Esses planos podem ser esboçados no espaço tridimensional como superfícies planas inclinadas, cada uma deslocada em relação às outras conforme o valor de
.
Exercícios relacionados
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (a)
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: (d)
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se
em um intervalo aberto
, então a função
é crescente em
. O que podemos afirmar se
em
? (veja Corolário 1 do Texto 2)
Lembrando que
tem máximo e mínimo em
, conclua que
para algum
.