Usando os limites fundamentais:
lim x 0 sen(x)x=1
e lim x +infty(1+1x)^x=e calcule:
(b) lim x 0 tg(x)x.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
lim x 0 tan(x)x
Para isso, vamos usar os limites fundamentais que foram fornecidos:
lim x 0 sin(x)x=1
lim x +infty(1+1x)^x=e
Neste caso, vamos focar no primeiro limite, que envolve funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente de tan(x) = sin(x)cos(x) pode ser expressa em termos de seno e cosseno:
tan(x)x = sin(x)x cdot cos(x)
Então, substituindo na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, vamos dividir a fração em duas partes para facilitar o cálculo do limite:
sin(x)x cdot cos(x) = ( sin(x)x ) cdot ( 1cos(x) )
Isso nos permite calcular o limite separadamente para cada parte da expressão.

Passo 4

Vamos calcular cada limite individualmente:
  1. Primeiro Limite:
lim x 0 sin(x)x = 1
Este é um dos limites fundamentais que já conhecemos.
  1. Segundo Limite:
lim x 0 1cos(x) = 1cos(0) = 11 = 1
Aqui, usamos o fato de que .

Resposta

Multiplicando os dois limites, temos:
lim x 0 tan(x)x = 1 cdot 1 = 1
Portanto, o limite é igual a 1.

Exercícios relacionados