Esboce e determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes dos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos que estão exatamente à mesma distância dos pontos e . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente a ideia de bissetriz perpendicular, que é a linha que corta o segmento AB ao meio e forma um ângulo de 90 graus com ele. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância e calcular a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio entre A e B. Isso nos ajudará a determinar onde está a bissectriz perpendicular. A fórmula do ponto médio é:
é
Aplicando os valores de A e B:
é

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta AB para determinar a inclinação da bissectriz perpendicular. A fórmula da inclinação (m) entre dois pontos é:
Aplicando os valores:
A inclinação da bissectriz perpendicular será o recíproco negativo da inclinação de AB:

Passo 4

Com a inclinação da bissectriz perpendicular e o ponto médio, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde e :
Vamos simplificar essa equação:
Somando 3 aos dois lados:

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de e é:

Exercícios relacionados

Seja o plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores
e . Obter uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de .
Dada a função , tal que :
utilize as informações obtidas para esboçar seu gráfico.
Verificar se os referidos planos são perpendiculares:
a) e
Indique, por meio de um esboço, a região do plano cartesiano na qual os pontos satisfazem a condição dada.