Esboce e determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes dos pontos A(-3,1) e B(7,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos que estão exatamente à mesma distância dos pontos e . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente a ideia de bissetriz perpendicular, que é a linha que corta o segmento AB ao meio e forma um ângulo de 90 graus com ele. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância e calcular a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio entre A e B. Isso nos ajudará a determinar onde está a bissectriz perpendicular. A fórmula do ponto médio é:
Ponto Médio = ( xA + xB2, yA + yB2 ) é
Aplicando os valores de A e B:
Ponto Médio = ( -3 + 72, 1 + 52 ) = ( 42, 62 ) = (2, 3) é

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta AB para determinar a inclinação da bissectriz perpendicular. A fórmula da inclinação (m) entre dois pontos é:
m = yB - yAxB - xA
Aplicando os valores:
mAB = 5 - 17 - (-3) = 410 = 25
A inclinação da bissectriz perpendicular será o recíproco negativo da inclinação de AB:
mperpendicular = -1mAB = -125 = -52

Passo 4

Com a inclinação da bissectriz perpendicular e o ponto médio, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Onde y - 3 = -52(x - 2) e y - 3 = -52x + 5 :
y = -52x + 8
Vamos simplificar essa equação:
Somando 3 aos dois lados:

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de y = -52x + 8 e é:

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