Esboce o espectro e calcule a potência da portadora modulada em ISB, assumindo que os sinais modulantes têm as seguintes densidades espectrais:
SL(w)=S0[u(w+wM)-u(w-wM)] ; SR w=S0(1-|w|wM)[u(w+wM)-u(w-wM)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre modulação em ISB (Independent Sideband), que é um tipo de modulação usada em sinais de comunicação. A tarefa é desenhar o espectro desse sinal modulada e calcular a potência da portadora. Para fazer isso, vamos precisar entender como funcionam os espectros das densidades espectrais dadas e como calcular a potência em sistemas modulados. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é modulação em ISB. Na modulação em ISB, a portadora é multiplicada por dois sinais modulantes independentes, cada um além do sinal original. Isso gera duas bandas laterais separadas: uma superior e outra inferior, sem que elas se sobreponham. Isso é útil para separar melhor os canais de comunicação.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as densidades espectrais fornecidas:
SL(w) = S0[u(w + wM) - u(w - wM)]
SR(w) = S0(1 - |w|wM)[u(w + wM) - u(w - wM)]
Aqui, $ S_{L}(w) $ e $ S_{R}(w) $ representam as densidades espectrais dos sinais modulantes esquerdo e direito, respectivamente. $ u(w) $ é a função degrau de Heaviside, que é 0 para $ w < 0 $ e 1 para $ w \geq 0 $. $ w_{M} $ é a frequência máxima do sinal modulante, e $ S_{0} $ é uma constante que representa a densidade espectral máxima.

Passo 4

Vamos interpretar $ S_{L}(w) $. A expressão $ u(w + w_{M}) - u(w - w_{M}) $ cria uma janela onde $ S_{L}(w) $ é igual a $ S_{0} $ para $ -w_{M} \leq w \leq w_{M} $ e zero fora desse intervalo. Isso significa que $ S_{L}(w) $ é uma faixa de frequência retangular centrada em zero com largura $ 2w_{M} $.
Já para $ S_{R}(w) $, além da mesma janela de frequência, há um fator adicional $ \left(1 - \frac{|w|}{w_{M}}\right) $, que faz com que a densidade espectral diminua linearmente de $ S_{0} $ em $ w = 0 $ até zero em $ w = \pm w_{M} $. Ou seja, $ S_{R}(w) $ tem a forma de um triângulo dentro da mesma faixa de frequência.

Passo 5

Agora, para esboçar o espectro da portadora modulada em ISB, precisamos considerar que a modulação ISB usa ambos os sinais modulantes $ S_{L}(w) $ e $ S_{R}(w) $ independentemente. Isso resulta na criação de duas bandas laterais ao redor da frequência da portadora $ w_{C} $:
  • A banda lateral inferior (ISB-): deslocada para $ w_{C} - w $
  • A banda lateral superior (ISB+): deslocada para $ w_{C} + w $
Como as densidades espectrais dos sinais modulantes são conhecidas, podemos deslocá-las para as bandas laterais correspondentes.

Passo 6

Agora, vamos calcular a potência da portadora modulada em ISB. Em sistemas de modulação, a potência total do sinal é a soma da potência da portadora e das potências das bandas laterais. Entretanto, na modulação ISB, como as bandas laterais são independentes e não sobrepostas, a potência da portadora não é afetada pelas modulações. Portanto, a potência da portadora permanece igual à potência original.
Mas, para detalhar, a potência total $ P_{total} $ é dada por:
Ptotal
Onde $ P_{carrier} $ é a potência da portadora, e $ P_{LSB} $ e $ P_{USB} $ são as potências das bandas laterais inferior e superior, respectivamente.

Passo 7

Para encontrar $ P_{carrier} $, observamos que a potência na portadora não é afetada pela modulação em ISB. Assim, se conhecermos o valor de $ S_{0} $, podemos relacioná-lo diretamente à potência da portadora. Porém, como o enunciado não fornece valores numéricos específicos para $ S_{0} $ ou outros parâmetros, nossa resposta final será expressa em termos de $ S_{0} $.

Resposta

A potência da portadora modulada em ISB é igual à potência original da portadora, que pode ser representada por $ P_{carrier} = S_{0} $.

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