Um sinal
, de frequência máxima
, é modulado em amplitude e transmitido. A portadora modulada é recebida e demodulada por um sistema que apresenta um deslocamento de
na frequência da portadora local, em relação àquela da portadora transmitida. Na recepção, o sinal demodulado passa por um filtro
. Determine e esboce a densidade espectral de potência do sinal à saída do filtro. Explique o que ocorreu com o sinal.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos saber para resolvê-la.
Enunciado Resumido:
Temos um sinal $ m(t) $ com frequência máxima $ w_M $ que é modulado em amplitude e transmitido. Ao receber, a portadora é demodulada, mas com um desvio de $ w_M $ na frequência em relação à portadora original. Depois, o sinal demodulado passa por um filtro $ H(w) = u(w + w_M) - u(w - w_M) $. Precisamos determinar e desenhar a densidade espectral de potência do sinal na saída desse filtro e explicar o que aconteceu com o sinal.
Temos um sinal $ m(t) $ com frequência máxima $ w_M $ que é modulado em amplitude e transmitido. Ao receber, a portadora é demodulada, mas com um desvio de $ w_M $ na frequência em relação à portadora original. Depois, o sinal demodulado passa por um filtro $ H(w) = u(w + w_M) - u(w - w_M) $. Precisamos determinar e desenhar a densidade espectral de potência do sinal na saída desse filtro e explicar o que aconteceu com o sinal.
Conteúdo da Matéria:
- Modulação e demodulação em amplitude (AM)
- Análise de espectro de sinais
- Filtros em sistemas de comunicação
O que vamos precisar:
- Entender como a modulação em amplitude funciona
- Saber como a demodulação afeta o espectro do sinal
- Aplicar a função do filtro para determinar o espectro final
Passo 2
Vamos começar lembrando como funciona a modulação em amplitude (AM). Nessa técnica, o sinal de informação $ m(t) $ é multiplicado por uma portadora senoidal, geralmente escrita como $ \cos(w_c t) $, onde $ w_c $ é a frequência da portadora.
Matematicamente, a portadora modulada fica:
onde $ A $ é a amplitude da portadora.
No domínio da frequência, isso gera componentes em $ w_c $ (a portadora), e nas frequências laterais $ w_c + w_M $ e $ w_c - w_M $.
Passo 3
Agora, vamos para a demodulação. Normalmente, para recuperar $ m(t) $ a partir de $ s(t) $, multiplicamos o sinal recebido pela mesma portadora $ \cos(w_c t) $. No entanto, na questão, há um desvio de $ w_M $ na frequência da portadora local. Então, a portadora usada na demodulação é $ \cos((w_c + w_M) t) $.
Multiplicando $ s(t) $ por $ \cos((w_c + w_M) t) $:
Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 4
O próximo passo é analisar o efeito do filtro $ H(w) = u(w + w_M) - u(w - w_M) $. Esse filtro é basicamente uma janela que permite apenas frequências entre
e
passarem.
Voltando à expressão que obtivemos após a demodulação:
Após passar pelo filtro $ H(w) $, as componentes em $ 2w_c + w_M $ são removidas porque estão fora da faixa
a
. Restarão apenas as componentes em $ w_M t $.
Passo 5
Portanto, a saída do filtro será:
Isso significa que o sinal demodulado passa por um deslocamento de frequência devido ao desvio na portadora local, e o filtro retira as componentes indesejadas, deixando apenas a parte do sinal dentro da banda
a
.
Resposta
A densidade espectral de potência do sinal à saída do filtro é centrada em zero frequência, com componentes de potência limitadas à faixa de
a
. Isso ocorre porque o filtro $ H(w) $ removeu as frequências deslocadas pela demodulação, permitindo apenas as frequências do sinal original $ m(t) $ passarem. Assim, o sinal recuperado mantém a informação original dentro da banda de frequência especificada.