Um sinal aleatório m(t), com autocorrelação RM(tau), é aplicado à entrada de um modulador AM convencional, com índice de modulação De e amplitude da portadora A=1. Calcule a autocorrelação do sinal modulado s(t). Calcule a densidade espectral de potência de s(t) a partir da autocorrelação. Faça os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência para RM(tau)=11+tau^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a autocorrelação do sinal modulado s(t) e a densidade espectral de potência a partir dessa autocorrelação. A matéria envolve Modulação AM (Amplitude Modulada), autocorrelação de sinais e análise de espectro de potência. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a modulação AM, como calcular a autocorrelação de um sinal modulado e, depois, como transformar essa autocorrelação em densidade espectral usando a transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a modulação AM convencional. Um sinal aleatório m(t) é modulado em amplitude com uma portadora de amplitude A=1 e índice de modulação De. A forma geral do sinal modulado é:
s(t) = [1 + De
Como De e A=1, simplificamos para:
s(t) = [1 + m(t)] cdot cos(omegac t)

Passo 3

Agora, vamos calcular a autocorrelação do sinal modulado s(t). A autocorrelação Rs(tau) de um sinal s(t) é definida como:
Rs(tau) = E[s(t) cdot s(t + tau)]
Substituindo s(t) na expressão:
Rs(tau) = E [ [1 + m(t)] cos(omegac t) cdot [1 + m(t + tau)] cos(omegac (t + tau)) ]

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
Rs(tau) = E [ cos(omegac t) cos(omegac (t + tau)) + m(t) cos(omegac t) cos(omegac (t + tau)) + m(t + tau) cos(omegac t) cos(omegac (t + tau)) + m(t) m(t + tau) cos(omegac t) cos(omegac (t + tau)) ]
Assumindo que o sinal m(t) tem média zero e é independente da portadora, vários termos se anularão.

Passo 5

Utilizando propriedades de sinais estatísticos e trigonometria:
cos(omegac t) cos(omegac (t + tau)) = 12 [cos(omegac tau) + cos(2omegac t + omegac tau)]
Como m(t) tem média zero, os termos lineares desaparecem, sobrando:
Rs(tau) = 12 cos(omegac tau) + 12 RM(tau) cos(omegac tau)
Onde RM(tau) é a autocorrelação do sinal m(t).

Passo 6

Fatorando cos(omegac tau):
Rs(tau) = 1 + RM(tau)2 cos(omegac tau)

Passo 7

Agora, vamos calcular a densidade espectral de potência Ss(f) a partir da autocorrelação Rs(tau) usando a transformada de Fourier:
Ss(f) = FRs(tau) = 1 + RM(tau)2 cdot Fcos(omegac tau)
Sabemos que:
Fcos(omegac tau) = pi [de
Então:
Ss(f) = 12 Fcos(omegac tau) + 12 FRM(tau) cos(omegac tau)
Isso resulta em componentes no espectro central e nas bandas laterais, dependendo de RM(tau).

Passo 8

Dado que RM(tau) = 11 + tau^2, precisamos calcular FRM(tau), que é a transformada de Fourier da função de autocorrelação. A transformada de Fourier de RM(tau) é a densidade espectral de potência do sinal m(t), denotada por SM(f).
Assim:
Ss(f) = 12 [de
Isso mostra que o espectro de s(t) tem uma componente na frequência da portadora e duas bandas laterais deslocadas por fc.

Resposta

A autocorrelação do sinal modulado s(t) é:
Rs(tau) = 1 + 11 + tau^22 cos(omegac tau)
A densidade espectral de potência de s(t) é:
Ss(f) = 12 [de
Onde SM(f) é a transformada de Fourier de RM(tau) = 11 + tau^2. Os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência podem ser desenhados substituindo RM(tau) e SM(f) nas expressões acima.

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