Um sinal aleatório
, com autocorrelação
, é aplicado à entrada de um modulador AM convencional, com índice de modulação
e amplitude da portadora
. Calcule a autocorrelação do sinal modulado
. Calcule a densidade espectral de potência de
a partir da autocorrelação. Faça os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a autocorrelação do sinal modulado
e a densidade espectral de potência a partir dessa autocorrelação. A matéria envolve Modulação AM (Amplitude Modulada), autocorrelação de sinais e análise de espectro de potência. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a modulação AM, como calcular a autocorrelação de um sinal modulado e, depois, como transformar essa autocorrelação em densidade espectral usando a transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a modulação AM convencional. Um sinal aleatório
é modulado em amplitude com uma portadora de amplitude
e índice de modulação
. A forma geral do sinal modulado é:
Como
e
, simplificamos para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a autocorrelação do sinal modulado
. A autocorrelação
de um sinal
é definida como:
Substituindo
na expressão:
Passo 4
Vamos expandir a expressão:
Assumindo que o sinal
tem média zero e é independente da portadora, vários termos se anularão.
Passo 5
Utilizando propriedades de sinais estatísticos e trigonometria:
Como
tem média zero, os termos lineares desaparecem, sobrando:
Onde
é a autocorrelação do sinal
.
Passo 6
Fatorando
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a densidade espectral de potência
a partir da autocorrelação
usando a transformada de Fourier:
Sabemos que:
Então:
Isso resulta em componentes no espectro central e nas bandas laterais, dependendo de
.
Passo 8
Dado que
, precisamos calcular
, que é a transformada de Fourier da função de autocorrelação. A transformada de Fourier de
é a densidade espectral de potência do sinal
, denotada por
.
Assim:
Isso mostra que o espectro de
tem uma componente na frequência da portadora e duas bandas laterais deslocadas por
.
Resposta
A autocorrelação do sinal modulado
é:
A densidade espectral de potência de
é:
Onde
é a transformada de Fourier de
. Os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência podem ser desenhados substituindo
e
nas expressões acima.