Esboce o gráfico de
encontrando todas as propriedades do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função racional
. Aqui estamos trabalhando com funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para esboçar o gráfico, vamos precisar encontrar várias propriedades da função, como domínios, interceptações, assíntotas e comportamentos da função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. A função não está definida quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero.
Então, o domínio é todos os reais menos
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos
e
.
- Interceptação com o eixo
: ocorre quando .
Então, a interceptação com o eixo
é
.
- Interceptações com o eixo
: ocorrem quando .
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as interceptações com o eixo
são:
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função.
-
Assíntota vertical: ocorre onde o denominador é zero, ou seja, em
. Isso significa que o gráfico se aproxima de uma linha vertical em . -
Assíntota oblíqua: como o grau do numerador (2) é igual ao grau do denominador (1) mais 1, haverá uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, dividimos o numerador pelo denominador.
Dividindo
por
:
Então, a equação da assíntota oblíqua é:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função em relação às assíntotas e em torno dos pontos críticos.
- Para
: o denominador se aproxima de zero positivo, então tende a . - Para
: o denominador se aproxima de zero negativo, então tende a . - Para
e : a função se aproxima da assíntota oblíqua .
Além disso, podemos plotar alguns pontos adicionais substituindo valores de
diferentes de 2 para ter uma ideia melhor do gráfico.
Resposta
O gráfico da função
possui:
- Domínio:
- Interceptação com o eixo
: - Interceptações com o eixo
: e - Assíntota vertical:
- Assíntota oblíqua:
O gráfico se aproxima da assíntota vertical em
e da assíntota oblíqua
conforme
tende a
.
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