Esboce o gráfico de
encontrando todas as propriedades do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função racional . Aqui estamos trabalhando com funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para esboçar o gráfico, vamos precisar encontrar várias propriedades da função, como domínios, interceptações, assíntotas e comportamentos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. A função não está definida quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero.
Então, o domínio é todos os reais menos :

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos e .
  • Interceptação com o eixo : ocorre quando .
Então, a interceptação com o eixo é .
  • Interceptações com o eixo : ocorrem quando .
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as interceptações com o eixo são:

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função.
  • Assíntota vertical: ocorre onde o denominador é zero, ou seja, em . Isso significa que o gráfico se aproxima de uma linha vertical em .
  • Assíntota oblíqua: como o grau do numerador (2) é igual ao grau do denominador (1) mais 1, haverá uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, dividimos o numerador pelo denominador.
Dividindo por :
Então, a equação da assíntota oblíqua é:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função em relação às assíntotas e em torno dos pontos críticos.
  • Para : o denominador se aproxima de zero positivo, então tende a .
  • Para : o denominador se aproxima de zero negativo, então tende a .
  • Para e : a função se aproxima da assíntota oblíqua .
Além disso, podemos plotar alguns pontos adicionais substituindo valores de diferentes de 2 para ter uma ideia melhor do gráfico.

Resposta

O gráfico da função possui:
  • Domínio:
  • Interceptação com o eixo :
  • Interceptações com o eixo : e
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota oblíqua:
O gráfico se aproxima da assíntota vertical em e da assíntota oblíqua conforme tende a .

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