Usando a regra de derivação implícita, encontrar em termos de e :

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação usando a derivação implícita. A equação que temos é . A derivação implícita é útil quando temos definido em termos de de uma forma que não é fácil isolar . Vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação, especialmente como derivar termos que envolvem em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos que envolvem , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
Vamos derivar cada termo:
  • Derivada de : Aqui usamos a regra do produto, que diz que . Então:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 3

Agora, substituímos todas as derivadas na equação original derivada:
Vamos juntar os termos que envolvem e os que não envolvem:

Passo 4

Fatoramos no lado esquerdo da equação:
Agora, para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs:
Esboce o gráfico das funçõs abaixo justificando cada etapa:
Usando a regra de derivação implícita, encontrar em termos de e :
Esboce o gráfico de
encontrando todas as propriedades do gráfico.