Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parametro cresce.
a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para desenhar o gráfico de uma curva que é definida por uma equação vetorial. Além disso, a gente precisa indicar com setas pra onde o parâmetro está crescendo. A matéria aqui envolve vetores no espaço tridimensional e como eles descrevem curvas. Pra resolver, vamos precisar entender como cada componente do vetor depende de e como isso se traduz no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação vetorial dada:
Isso significa que:

Passo 3

Vamos analisar cada componente:
  • Componente : . Isso indica que, à medida que aumenta, também aumenta linearmente.
  • Componentes e : e . Essas funções trigonométricas nos mostram que, para cada valor de , e estão descrevendo um círculo no plano com raio 1, mas com frequência dobrada (por causa do ).

Passo 4

Então, juntando essas informações, a curva descrita pela equação vetorial é uma hélice. Isso porque, enquanto aumenta linearmente com , e fazem um movimento circular, criando uma espiral no espaço tridimensional.

Passo 5

Pra esboçar o gráfico:
  1. Imagine o eixo horizontal.
  2. No plano , desenhe um círculo de raio 1.
  3. Conforme você move ao longo do eixo , desenhe círculos que vão “subindo” conforme aumenta, formando uma hélice.

Passo 6

Agora, vamos indicar a direção em que aumenta. Como , conforme cresce, a hélice se move para a direita no eixo . Então, colocamos setas na hélice apontando na direção positiva do .

Resposta

A curva é uma hélice que se enrola ao redor do eixo , subindo continuamente conforme aumenta. No gráfico, a hélice avança para a direita no eixo , e as setas indicam essa direção de crescimento do parâmetro .

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Determine se: c)
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Sejam . Determine a fórmula para cada função abaixo c)