Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar o gráfico da curva cuja equação vetorial é e indicar a direção em que o parâmetro
cresce. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações paramétricas de curvas no plano. Precisamos entender como transformar essa equação vetorial em um gráfico no plano cartesiano e identificar a direção do movimento conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação vetorial representa. A equação nos dá as coordenadas
e
de pontos na curva para cada valor de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos relacionar essas duas equações para eliminar o parâmetro
e obter uma equação cartesiana da curva. Sabemos que . Vamos manipular as equações de
e
para usar essa identidade trigonométrica.
Primeiro, isolemos e
:
Agora, substituindo na identidade trigonométrica:
Simplificando:
Passo 4
A equação
representa uma elipse no plano cartesiano. Aqui, o coeficiente de
é 1 e o de
é
, o que indica que a elipse tem semieixos de:
- Comprimento 1 na direção
- Comprimento 3 na direção
Portanto, a elipse está centrada na origem, se estende de
a
em
e de
a
em
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a direção em que
cresce na curva. Para isso, podemos analisar o comportamento dos componentes
e
conforme
aumenta.
-
Quando
: -
- Ponto inicial:
-
Conforme
aumenta de 0 a : - aumenta de 0 a 1
-
diminui de 1 a 0 - O ponto se move de
para
-
Continuando com
até : - diminui de 1 a 0
-
continua diminuindo de 0 a -1 - O ponto se move de
para
E assim por diante, completando a elipse. Portanto, a direção do crescimento de
é no sentido sentido anti-horário na elipse.
Resposta
O gráfico da curva é uma elipse centrada na origem, com semieixos de comprimento 1 na direção
e 3 na direção
. A direção do crescimento do parâmetro
segue o sentido anti-horário ao redor da elipse.
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