Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar o gráfico da curva cuja equação vetorial é e indicar a direção em que o parâmetro cresce. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações paramétricas de curvas no plano. Precisamos entender como transformar essa equação vetorial em um gráfico no plano cartesiano e identificar a direção do movimento conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação vetorial representa. A equação nos dá as coordenadas e de pontos na curva para cada valor de . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos relacionar essas duas equações para eliminar o parâmetro e obter uma equação cartesiana da curva. Sabemos que . Vamos manipular as equações de e para usar essa identidade trigonométrica.
Primeiro, isolemos e :
Agora, substituindo na identidade trigonométrica:
Simplificando:

Passo 4

A equação representa uma elipse no plano cartesiano. Aqui, o coeficiente de é 1 e o de é , o que indica que a elipse tem semieixos de:
  • Comprimento 1 na direção
  • Comprimento 3 na direção
Portanto, a elipse está centrada na origem, se estende de a em e de a em .

Passo 5

Agora, vamos determinar a direção em que cresce na curva. Para isso, podemos analisar o comportamento dos componentes e conforme aumenta.
  • Quando :
    • Ponto inicial:
  • Conforme aumenta de 0 a :
    • aumenta de 0 a 1
    • diminui de 1 a 0
    • O ponto se move de para
  • Continuando com até :
    • diminui de 1 a 0
    • continua diminuindo de 0 a -1
    • O ponto se move de para
E assim por diante, completando a elipse. Portanto, a direção do crescimento de é no sentido sentido anti-horário na elipse.

Resposta

O gráfico da curva é uma elipse centrada na origem, com semieixos de comprimento 1 na direção e 3 na direção . A direção do crescimento do parâmetro segue o sentido anti-horário ao redor da elipse.

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