Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
r(t) = <1+t, 3t, -t>

Passo 1

Beleza! A gente vai esboçar o gráfico de uma curva definida por uma equação vetorial. O conteúdo envolve vetores e parametrização no espaço 3D. Vamos precisar entender como cada componente da equação   afeta a posição no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação vetorial nas suas componentes:
- 
- 
- 
Isso significa que para cada valor de  t, temos um ponto no espaço com essas coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos tentar eliminar o parâmetro  t para achar uma relação entre  x,  y e  z.
De  , podemos isolar  t:
Substituindo  t nas outras duas equações:

Então, temos:
- 
- 

Passo 4

Essas duas equações mostram como  y e  z se relacionam com  x. Podemos ver que a curva é uma linha reta no espaço 3D, já que as equações são lineares e não dependem uma da outra de forma não-linear.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos identificar alguns pontos:
  • Quando  : 
  • Quando  : 
  • Quando  : 
Conectando esses pontos, temos uma linha reta que se estende em ambas as direções no espaço 3D.

Passo 6

Por fim, indicamos com setas a direção em que  t aumenta,  x, y aumentam e  diminui, colocamos setas na linha reta na direção dos pontos onde  z$ diminui.

Resposta

O gráfico da curva é uma linha reta no espaço 3D passando pelos pontos  ,   e  , com setas indicando que conforme  çãx y z$ diminui.

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