Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Beleza! A gente vai esboçar o gráfico de uma curva definida por uma equação vetorial. O conteúdo envolve vetores e parametrização no espaço 3D. Vamos precisar entender como cada componente da equação
afeta a posição no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a equação vetorial nas suas componentes:
-
-
-
-
-
-
Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto no espaço com essas coordenadas.
Passo 3
Agora, vamos tentar eliminar o parâmetro
para achar uma relação entre
,
e
.
De , podemos isolar
:
De
Substituindo
nas outras duas equações:
Então, temos:
-
-
-
-
Passo 4
Essas duas equações mostram como
e
se relacionam com
. Podemos ver que a curva é uma linha reta no espaço 3D, já que as equações são lineares e não dependem uma da outra de forma não-linear.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos identificar alguns pontos:
- Quando
: - Quando
: - Quando
:
Conectando esses pontos, temos uma linha reta que se estende em ambas as direções no espaço 3D.
Passo 6
Por fim, indicamos com setas a direção em que
t aumenta,
aumentam e
diminui, colocamos setas na linha reta na direção dos pontos onde
z$ diminui.
Resposta
O gráfico da curva é uma linha reta no espaço 3D passando pelos pontos
,
e
, com setas indicando que conforme
x
y
z$ diminui.
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Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga
e
.