Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
II. r(t) = <sen(t), 3, cos(t)>

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos esboçar o gráfico de uma curva definida por uma equação vetorial. A equação que temos é . A gente vai precisar entender como essa equação se comporta para diferentes valores de e usar isso para desenhar a curva corretamente, incluindo a direção em que está crescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação vetorial nas suas componentes. A equação dada é:
Isso significa que:
Então, para cada valor de , temos um ponto no espaço tridimensional.

Passo 3

Observando as componentes, vemos que o valor de é sempre 3, independente de . Isso indica que a curva está toda contida no plano onde . Ou seja, a gente vai desenhar a curva nesse plano específico.

Passo 4

Agora, vamos olhar para as componentes e . Essas duas equações descrevem uma circunferência no plano , já que . Portanto, a curva é um círculo com raio 1 e centro em .

Passo 5

Por fim, precisamos indicar a direção em que está crescendo. Conforme aumenta, e fazem com que o ponto percorra o círculo no sentido anti-horário quando visto de cima (ou seja, na direção positiva do eixo ).

Resposta

A curva é um círculo de raio 1 situado no plano , centrado em . Ao esboçar, desenhe um círculo nesse plano e adicione setas indicando que a trajetória segue no sentido anti-horário conforme aumenta.

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