Escreva as cinco outras integrais iteradas que são iguais à integral iterada dada
integral-2^2 integralx^2^4 integral0^2-y / 2 f(x, y, z) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrevermos as cinco outras integrais iteradas que são iguais a essa integral dada:
integral-2^2 integralx^2^4 integral0^2-y2 f(x, y, z) , dz , dy , dx
Estamos lidando com integrais triplas aqui, que são usadas para calcular volumes ou outras quantidades em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração, ou seja, trocar a sequência de integrar em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração definida pelos limites dados. Temos:
  • varia de a
  • Para cada , varia de a
  • Para cada , varia de a
Isso define um paralelepípedo irregular no espaço 3D. Nosso objetivo é reescrever essa integral mudando a ordem das integrações.

Passo 3

Sabemos que em integrais triplas, há possíveis ordens de integração (porque temos três variáveis: , , ). A integral dada é uma delas, então restam cinco outras.
Cada ordem vai exigir que ajustemos os limites de integração para corresponder à nova sequência. Vamos precisar determinar os novos limites para cada ordem.

Passo 4

Vamos identificar as cinco outras ordens possíveis:
Para cada uma dessas ordens, vamos encontrar os novos limites de integração.

Resposta

As cinco outras integrais iteradas iguais à dada são:
  1. Ordem integral-2^2 integral0^2 - y2 integralraizy^2 f(x, y, z) , dx , dz , dy :
integral-2^2 integral0^2 - y2 integralx^2^4 f(x, y, z) , dy , dz , dx
  1. Ordem integral0^4 integral- raizy^raizy integral0^2 - y2 f(x, y, z) , dx , dz , dy :
integral0^2 integral-2^2 integralx^2^4 f(x, y, z) , dy , dx , dz
  1. Ordem integral0^2 integral- raiz4 - y^raiz4 - y integral0^2 - y2 f(x, y, z) , dx , dz , dy :
  1. Ordem :
  1. Ordem :
Cada uma dessas integrais representa a mesma região de integração, apenas com a ordem das variáveis trocada. Isso é útil para simplificar cálculos dependendo da função ou da maneira como a região está definida.

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