Escreva as cinco outras integrais iteradas que são iguais à integral iterada dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrevermos as cinco outras integrais iteradas que são iguais a essa integral dada:
Estamos lidando com integrais triplas aqui, que são usadas para calcular volumes ou outras quantidades em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração, ou seja, trocar a sequência de integrar em relação a
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração definida pelos limites dados. Temos:
-
varia de a - Para cada
, varia de a - Para cada
, varia de a
Isso define um paralelepípedo irregular no espaço 3D. Nosso objetivo é reescrever essa integral mudando a ordem das integrações.
Passo 3
Sabemos que em integrais triplas, há
possíveis ordens de integração (porque temos três variáveis:
,
,
). A integral dada é uma delas, então restam cinco outras.
Cada ordem vai exigir que ajustemos os limites de integração para corresponder à nova sequência. Vamos precisar determinar os novos limites para cada ordem.
Passo 4
Vamos identificar as cinco outras ordens possíveis:
Para cada uma dessas ordens, vamos encontrar os novos limites de integração.
Resposta
As cinco outras integrais iteradas iguais à dada são:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
Cada uma dessas integrais representa a mesma região de integração, apenas com a ordem das variáveis trocada. Isso é útil para simplificar cálculos dependendo da função
ou da maneira como a região está definida.
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