Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado
O sólido limitado pelo cilindro x^2 + z^2 = 4 e pelos planos y = -1 e y + z = 4

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa usar uma integral tripla para calcular o volume de um sólido. Esse sólido é definido por um cilindro dado por e os planos e . Ou seja, temos que encontrar o volume da região que está dentro desse cilindro e entre esses dois planos.

Passo 2

Agora, para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas. Por que? Porque o cilindro é circular no plano , e nas coordenadas cilíndricas isso fica mais fácil de lidar. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
  • : O cilindro implica que , então vai de 0 até 2.
  • : Como o cilindro é completo ao redor do eixo y, vai de 0 até .
  • : Os planos que limitam são e . Em coordenadas cilíndricas, , então o plano superior fica . Assim, varia de até .

Passo 4

Agora, montamos a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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