Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado
O sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
O sólido limitado pelo cilindro
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa usar uma integral tripla para calcular o volume de um sólido. Esse sólido é definido por um cilindro dado por
e os planos
e
. Ou seja, temos que encontrar o volume da região que está dentro desse cilindro e entre esses dois planos.
Passo 2
Agora, para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas. Por que? Porque o cilindro
é circular no plano
, e nas coordenadas cilíndricas isso fica mais fácil de lidar. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
-
: O cilindro implica que , então vai de 0 até 2. -
: Como o cilindro é completo ao redor do eixo y, vai de 0 até . -
: Os planos que limitam são e . Em coordenadas cilíndricas, , então o plano superior fica . Assim, varia de até .
Passo 4
Agora, montamos a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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