Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
r(t) = <sen(t), 3, cos(t)>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial e indicar com setas a direção em que o parâmetro t aumenta. Vamos usar conceitos de geometria analítica e funções trigonométricas para entender e desenhar essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da equação vetorial . Isso significa que:
  • A coordenada x é
  • A coordenada y é constante, igual a
  • A coordenada z é cos(t)

Passo 3

Como a coordenada y é sempre , a curva está completamente situada no plano horizontal definido por . Portanto, não precisamos nos preocupar com variações nessa direção.

Passo 4

Agora, olhando para as coordenadas x e z, temos e . Sabemos que , então podemos substituir:
Isso descreve uma circunferência com raio 1 no plano .

Passo 5

Para entender a direção do movimento na curva à medida que t aumenta, vamos ver como x e z mudam com t. Quando t aumenta, e cos(t) seguem o comportamento padrão das funções trigonométricas:
  • Quando t aumenta, passa de 0 para 1 (quando )
  • E passa de 1 para 0 (quando )
Isso indica que o movimento na circunferência é no sentido anti-horário.

Resposta

A curva é uma circunferência de raio 1 no plano horizontal . Ao esboçar, desenhe um círculo com centro em e raio 1 na direção xz. Indique setas no sentido anti-horário para mostrar que, conforme t aumenta, o ponto se move nessa direção.

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