Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para a gente usar um computador para traçar a curva de uma equação vetorial específica: . Isso envolve conceitos de funções vetoriais e curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada componente da função influencia na forma da curva e como escolher um intervalo adequado para o parâmetro e um bom ponto de vista para visualizar a curva da melhor maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação vetorial dada. Ela está em termos de um parâmetro e cada componente de define uma coordenada no espaço:
Essas três funções juntas descrevem a posição de um ponto no espaço para cada valor de . Nosso objetivo é traçar essa curva usando um computador, o que geralmente é feito com softwares de matemática ou gráficos 3D.
Passo 3
Vamos escolher o intervalo para . É importante selecionar um domínio que revele bem a “verdadeira natureza” da curva. Observando os componentes:
é sempre positivo ou zero, então será sempre .
simplifica para , então para entre -1 e 1, será negativo, e fora desse intervalo, será positivo.
nos dá a posição vertical da curva.
Vamos escolher no intervalo de -2 a 2 para capturar bem essas variações.
Passo 4
Agora, vamos pensar no ponto de vista para visualizar a curva. Como a curva está no espaço 3D, é útil escolher uma perspectiva que mostre como ela se move nas três direções. Uma boa prática é posicionar a câmera em um ângulo que permita ver a variação em , e simultaneamente. Por exemplo, uma visão isométrica onde os três eixos estão igualmente visíveis.
Passo 5
Com o intervalo de definido e o ponto de vista escolhido, podemos usar um software como GeoGebra, MATLAB ou outro programa de gráficos 3D para traçar a curva. Basta inserir as funções paramétricas:
E configurar o intervalo de de -2 a 2. Ajuste a visualização para uma perspectiva isométrica para melhor apreciar a forma da curva.
Resposta
Seguindo esses passos, você conseguirá traçar a curva da equação vetorial no intervalo de de -2 a 2, com uma visão que destaca a verdadeira natureza tridimensional da curva.