Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. A gente precisa desenhar o gráfico da curva definida pela equação vetorial
. Isso envolve conceitos de geometria analítica e vetores. Para resolver, vamos precisar conhecer como interpretar curvas paramétricas no espaço tridimensional e como traçar seu gráfico passo a passo.
Passo 2
Vamos analisar cada componente da equação vetorial
. Aqui,
é o parâmetro que varia, e as funções
,
e
determinam as coordenadas
,
e
da curva, respectivamente.
Passo 3
Observando as componentes:
-
: essa função oscila entre -1 e 1, criando um movimento circular no plano . -
: aqui, à medida que aumenta, também aumenta linearmente, o que faz a curva subir ou descer no eixo . -
: similar à função seno, essa componente também oscila entre -1 e 1, complementando o movimento circular.
Passo 4
Combinando essas componentes, percebemos que a curva é uma hélice. Isso porque as funções seno e cosseno criam um movimento circular no plano
, enquanto a função linear em
faz a curva subir ou descer ao longo desse eixo. Então, a hélice vai se enrolando ao redor do eixo
à medida que
aumenta.
Passo 5
Para desenhar o gráfico:
- Desenhe o eixo
verticalmente. - No plano
, desenhe um círculo de raio 1, já que e variam entre -1 e 1. - À medida que você desenha o círculo no plano
, mova-se para cima no eixo proporcionalmente ao valor de . Isso cria a forma helicoidal.
Passo 6
Agora, vamos indicar a direção do crescimento de
. Como
aumenta, o ponto na curva se move na direção em que a hélice está se enrolando. Então, adicionamos setas na hélice mostrando a direção ascendente conforme
cresce.
Resposta
O gráfico da curva
é uma hélice helicoidal em torno do eixo
. Conforme o parâmetro
aumenta, a curva se enrola em torno do eixo
subindo, e as setas indicam essa direção ascendente de
.
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