Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
r(t) = < sen(t), t, cos(t) >

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. A gente precisa desenhar o gráfico da curva definida pela equação vetorial . Isso envolve conceitos de geometria analítica e vetores. Para resolver, vamos precisar conhecer como interpretar curvas paramétricas no espaço tridimensional e como traçar seu gráfico passo a passo.

Passo 2

Vamos analisar cada componente da equação vetorial . Aqui, t é o parâmetro que varia, e as funções , t e cos(t) determinam as coordenadas x, y e z da curva, respectivamente.

Passo 3

Observando as componentes:
  • : essa função oscila entre -1 e 1, criando um movimento circular no plano x.
  • : aqui, à medida que t aumenta, y também aumenta linearmente, o que faz a curva subir ou descer no eixo y.
  • : similar à função seno, essa componente também oscila entre -1 e 1, complementando o movimento circular.

Passo 4

Combinando essas componentes, percebemos que a curva é uma hélice. Isso porque as funções seno e cosseno criam um movimento circular no plano , enquanto a função linear em y faz a curva subir ou descer ao longo desse eixo. Então, a hélice vai se enrolando ao redor do eixo y à medida que t aumenta.

Passo 5

Para desenhar o gráfico:
  1. Desenhe o eixo y verticalmente.
  2. No plano , desenhe um círculo de raio 1, já que e cos(t) variam entre -1 e 1.
  3. À medida que você desenha o círculo no plano , mova-se para cima no eixo y proporcionalmente ao valor de t. Isso cria a forma helicoidal.

Passo 6

Agora, vamos indicar a direção do crescimento de t. Como t aumenta, o ponto na curva se move na direção em que a hélice está se enrolando. Então, adicionamos setas na hélice mostrando a direção ascendente conforme t cresce.

Resposta

O gráfico da curva é uma hélice helicoidal em torno do eixo y. Conforme o parâmetro t aumenta, a curva se enrola em torno do eixo y subindo, e as setas indicam essa direção ascendente de t.

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