Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Encontre o centróide da região sólida acima do cone e abaixo da esfera .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o centróide (ou centro de massa, se a densidade for uniforme) de uma região sólida que está acima do cone definido por e abaixo da esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando lidamos com esferas e cones. Também vamos precisar entender como calcular integrais múltiplas para achar o centróide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o centróide de uma região sólida tem coordenadas , onde:
Aqui, é o volume da região. Porém, como a região é simétrica em torno do eixo , sabemos que . Então, só precisamos calcular .
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume é:
Nosso objetivo é encontrar os limites de integração. A esfera em coordenadas esféricas é simplesmente . O cone se transforma em . Então, varia de a , de a , e de a .
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume :
Integrando em :
Então,
Integrando em :
E então,
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Integrando em :
Então,
A integral em é:
E então,
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:
Aproximando:
Resposta
O centróide da região sólida é , ou aproximadamente .