Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Calcule a integral tripla
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular uma integral tripla onde a função a ser integrada é . Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a expressão se simplifica nesse sistema. Então, vamos precisar entender como mudar as coordenadas e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos , e , onde:
é a distância do ponto à origem no plano ,
é o ângulo em relação ao eixo ,
continua sendo a mesma coordenada vertical.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume transforma-se em:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Observando os limites originais:
varia de -2 a 2,
Para cada , varia de a ,
Para cada , varia de a 2.
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz:
varia de 0 a 2 (raio do círculo de raio 2),
varia de 0 a (ângulo completo),
varia de a 2.
Passo 4
Vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, e multiplicamos por do elemento de volume.
Passo 5
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em , depois em , e por último em .