Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Calcule a integral tripla integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^2(x^2+y^2) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular uma integral tripla onde a função a ser integrada é . Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a expressão se simplifica nesse sistema. Então, vamos precisar entender como mudar as coordenadas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos x = r costheta, y = r sintheta, z = z , dV = r , dr , dtheta , dz e , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • continua sendo a mesma coordenada vertical.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume transforma-se em:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de -2 a 2,
  • Para cada , varia de a ,
  • Para cada , varia de a 2.
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz:
  • varia de 0 a 2 (raio do círculo de raio 2),
  • varia de 0 a (ângulo completo),
  • varia de a 2.

Passo 4

Vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 (r^2) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, e multiplicamos por do elemento de volume.

Passo 5

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em integralr^2 r^3 , dz = r^3 [z]r^2 = r^3 (2 - r) , depois em , e por último em .
Integral em :

Passo 6

Agora, integramos em integral0^2 r^3 (2 - r) , dr = integral0^2 (2r^3 - r^4) , dr :
2 cdot r^44 - r^55 g|0^2 = 2 cdot 164 - 325 = 8 - 325 = 40 - 325 = 85
Calculando as integrais:

Passo 7

Por último, integramos em integral0^2pi 85 , dtheta = 85 [theta]0^2pi = 85 cdot 2pi = 16pi5 :

Resposta

A integral tripla é igual a .

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