Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Calcule a integral tripla

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular uma integral tripla onde a função a ser integrada é . Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a expressão se simplifica nesse sistema. Então, vamos precisar entender como mudar as coordenadas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos , e , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • continua sendo a mesma coordenada vertical.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume transforma-se em:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de -2 a 2,
  • Para cada , varia de a ,
  • Para cada , varia de a 2.
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz:
  • varia de 0 a 2 (raio do círculo de raio 2),
  • varia de 0 a (ângulo completo),
  • varia de a 2.

Passo 4

Vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, e multiplicamos por do elemento de volume.

Passo 5

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em , depois em , e por último em .
Integral em :

Passo 6

Agora, integramos em :
Calculando as integrais:

Passo 7

Por último, integramos em :

Resposta

A integral tripla é igual a .

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