Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que pede para a gente esboçar o gráfico de uma curva dada por uma equação vetorial. A matéria envolve vetores e curvas no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como cada componente da equação vetorial se comporta conforme o parâmetro
varia para desenhar a curva e indicar a direção do crescimento de
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação vetorial dada:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nos eixos
,
e
respectivamente. Isso significa que:
Vamos analisar como cada coordenada muda com
.
Passo 3
Vamos escolher alguns valores de
para calcular
,
e
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Vemos que conforme
aumenta,
,
e
também aumentam, mas em taxas diferentes.
Passo 4
Agora, vamos plotar esses pontos no espaço 3D:
-
: (1, 1, 1) -
: (0, 0, 0) -
: (1, 1, 1) -
: (4, 16, 64)
Conectando esses pontos, percebemos que a curva passa pelo ponto de origem e se estende para longe conforme
aumenta.
Passo 5
Para indicar a direção do crescimento de
, vamos desenhar setas ao longo da curva apontando na direção em que os pontos se movem conforme
aumenta. Observamos que, para valores maiores de
, os componentes
,
e
aumentam, então as setas vão na direção de
a partir da origem.
Resposta
O gráfico da curva é uma espiral que parte da origem e se estende para longe no espaço tridimensional, com as setas indicando a direção em que
cresce conforme os pontos se movem de
para
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Seja
a superfície
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Trace a projeção da curva sobre o plano indicado.
, plano