Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que pede para a gente esboçar o gráfico de uma curva dada por uma equação vetorial. A matéria envolve vetores e curvas no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como cada componente da equação vetorial se comporta conforme o parâmetro varia para desenhar a curva e indicar a direção do crescimento de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação vetorial dada:
Aqui, , e são os vetores unitários nos eixos , e respectivamente. Isso significa que:
Vamos analisar como cada coordenada muda com .

Passo 3

Vamos escolher alguns valores de para calcular , e :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que conforme aumenta, , e também aumentam, mas em taxas diferentes.

Passo 4

Agora, vamos plotar esses pontos no espaço 3D:
  • : (1, 1, 1)
  • : (0, 0, 0)
  • : (1, 1, 1)
  • : (4, 16, 64)
Conectando esses pontos, percebemos que a curva passa pelo ponto de origem e se estende para longe conforme aumenta.

Passo 5

Para indicar a direção do crescimento de , vamos desenhar setas ao longo da curva apontando na direção em que os pontos se movem conforme aumenta. Observamos que, para valores maiores de , os componentes , e aumentam, então as setas vão na direção de a partir da origem.

Resposta

O gráfico da curva é uma espiral que parte da origem e se estende para longe no espaço tridimensional, com as setas indicando a direção em que cresce conforme os pontos se movem de para .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Seja a superfície
um campo vetorial de classe . Justifique a igualdade
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Trace a projeção da curva sobre o plano indicado. , plano