Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pedindo para esboçar o gráfico de uma curva definida pela equação vetorial
. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica no espaço tridimensional, onde a gente aprende a representar curvas usando parâmetros. Vamos precisar entender como cada componente da função
influencia a forma da curva e como indicar a direção em que o parâmetro
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial:
Cada uma dessas funções descreve como a coordenada correspondente muda conforme
varia. O
significa que à medida que
aumenta, a coordenada
também aumenta linearmente.
Passo 3
Agora, vamos observar
e
. Essas duas funções são trigonométricas e estão relacionadas. Na verdade, se pensarmos no plano
, temos que:
Isso nos mostra que para cada valor de
, o ponto
está sobre o círculo de raio 1 no plano
.
Passo 4
Combinando essas informações, sabemos que enquanto
aumenta, o ponto está se movendo ao redor desse círculo no plano
enquanto simultaneamente se desloca para cima no eixo
. Isso caracteriza uma hélice circular.
Passo 5
Para desenhar o gráfico:
- Desenhe um cilindro circular no espaço com eixo alinhado ao eixo
. - No plano
, esboce um círculo de raio 1. - Conforme você move ao longo do eixo
, desenhe uma linha que gira ao redor do cilindro, mantendo-se na superfície dele. Isso forma a hélice.
Passo 6
Por fim, vamos indicar a direção em que
cresce. Como
aumenta conforme nos movemos para cima no eixo
e avançamos ao redor do círculo no plano
, coloque setas na hélice seguindo essa direção ascendente e circular.
Resposta
A curva é uma hélice circular que gira em torno do eixo
enquanto se desloca para cima conforme
aumenta. O gráfico mostra uma espiral circular ascendente com setas indicando a direção de crescimento de
.
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cresce.
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Trace a projeção da curva sobre o plano indicado.
, plano
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
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