Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pedindo para esboçar o gráfico de uma curva definida pela equação vetorial . Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica no espaço tridimensional, onde a gente aprende a representar curvas usando parâmetros. Vamos precisar entender como cada componente da função influencia a forma da curva e como indicar a direção em que o parâmetro cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial:
Cada uma dessas funções descreve como a coordenada correspondente muda conforme varia. O significa que à medida que aumenta, a coordenada também aumenta linearmente.

Passo 3

Agora, vamos observar e . Essas duas funções são trigonométricas e estão relacionadas. Na verdade, se pensarmos no plano , temos que:
Isso nos mostra que para cada valor de , o ponto está sobre o círculo de raio 1 no plano .

Passo 4

Combinando essas informações, sabemos que enquanto aumenta, o ponto está se movendo ao redor desse círculo no plano enquanto simultaneamente se desloca para cima no eixo . Isso caracteriza uma hélice circular.

Passo 5

Para desenhar o gráfico:
  1. Desenhe um cilindro circular no espaço com eixo alinhado ao eixo .
  2. No plano , esboce um círculo de raio 1.
  3. Conforme você move ao longo do eixo , desenhe uma linha que gira ao redor do cilindro, mantendo-se na superfície dele. Isso forma a hélice.

Passo 6

Por fim, vamos indicar a direção em que cresce. Como aumenta conforme nos movemos para cima no eixo e avançamos ao redor do círculo no plano , coloque setas na hélice seguindo essa direção ascendente e circular.

Resposta

A curva é uma hélice circular que gira em torno do eixo enquanto se desloca para cima conforme aumenta. O gráfico mostra uma espiral circular ascendente com setas indicando a direção de crescimento de .

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
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Trace a projeção da curva sobre o plano indicado. , plano
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.