Trace a projeção da curva sobre o plano indicado.
, plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para traçarmos a projeção da curva dada no plano
. Isso faz parte da matéria de geometria analítica ou cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como projetar uma curva tridimensional em um dos planos coordenados, nesse caso, o plano
. Basicamente, vamos “achatar” a curva no plano
, ignorando a coordenada
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é projeção de uma curva em um plano. Quando projetamos uma curva no plano
, nós estamos olhando apenas para as componentes
e
de cada ponto da curva, ignorando a componente
. Ou seja, a projeção vai eliminar a informação de
e mostrar apenas como a curva se comporta no plano
.
Passo 3
Dada a curva vetorial
, temos as componentes:
Para projetar essa curva no plano
, vamos eliminar a componente
.
Passo 4
Assim, a projeção da curva no plano
será uma curva que relaciona
e
em função de
. Então, temos:
Agora, queremos expressar
em termos de
para ter a equação da projeção no plano
.
Passo 5
Vamos resolver uma das equações para
e substituir na outra. Por exemplo, da equação
, podemos isolar
:
Agora, substituímos esse valor de
na equação de
:
Passo 6
Simplificando a expressão de
:
Então, a relação entre
e
na projeção é
.
Resposta
A projeção da curva
no plano
é dada pela equação
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.