Trace a projeção da curva sobre o plano indicado. , plano

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para traçarmos a projeção da curva dada no plano . Isso faz parte da matéria de geometria analítica ou cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como projetar uma curva tridimensional em um dos planos coordenados, nesse caso, o plano . Basicamente, vamos “achatar” a curva no plano , ignorando a coordenada .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é projeção de uma curva em um plano. Quando projetamos uma curva no plano , nós estamos olhando apenas para as componentes e de cada ponto da curva, ignorando a componente . Ou seja, a projeção vai eliminar a informação de e mostrar apenas como a curva se comporta no plano .

Passo 3

Dada a curva vetorial , temos as componentes:
Para projetar essa curva no plano , vamos eliminar a componente .

Passo 4

Assim, a projeção da curva no plano será uma curva que relaciona e em função de . Então, temos:
Agora, queremos expressar em termos de para ter a equação da projeção no plano .

Passo 5

Vamos resolver uma das equações para e substituir na outra. Por exemplo, da equação , podemos isolar :
Agora, substituímos esse valor de na equação de :

Passo 6

Simplificando a expressão de :
Então, a relação entre e na projeção é .

Resposta

A projeção da curva no plano é dada pela equação .

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
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