Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenhar o gráfico da curva definida pela equação vetorial . Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas no cálculo. Vamos precisar entender como as funções e trabalham juntas pra formar o gráfico e depois indicar a direção em que aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes da equação vetorial . Isso significa que:
  • A coordenada é dada por .
  • A coordenada é dada por .
Então, para cada valor de , temos um ponto no plano.

Passo 3

Vamos analisar como e se comportam conforme varia:
  • Para : A função cosseno oscila entre -1 e 1. Mas como temos um negativo na frente, oscila entre -1 e 1 invertendo o sinal, ou seja, entre 1 e -1.
  • Para : Isso significa que, conforme aumenta, aumenta linearmente. Não há limite para ; ele pode ir de a .

Passo 4

Agora, vamos pensar em como esses dois comportamentos se combinam. Conforme aumenta:
  • oscila entre 1 e -1 de forma periódica, já que o cosseno é uma função periódica com período .
  • simplesmente aumenta sem parar.
Isso cria um gráfico que parece uma linha pulsante verticalmente, onde oscila enquanto sobe.

Passo 5

Para desenhar o gráfico:
  1. Eixo : Como vai de a , desenhe uma linha vertical longa para representar todos os valores possíveis de .
  2. Oscilação em : Desenhe curvas onduladas que vão de a repetidamente conforme você avança na direção positiva de .

Passo 6

Sobre a direção:
  • Conforme aumenta, também aumenta. Então, as setas no gráfico devem apontar para cima, indicando que conforme você segue a curva, está indo para valores maiores de .

Resposta

O gráfico da curva é uma linha vertical infinita com oscilações sinusoidais no eixo entre 1 e -1. As setas indicam que, conforme aumenta, a curva se desloca para cima no eixo .

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