Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce. r(t) = <-cos(t), t>

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenhar o gráfico da curva definida pela equação vetorial . Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas no cálculo. Vamos precisar entender como as funções cos(t) e t trabalham juntas pra formar o gráfico e depois indicar a direção em que t aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes da equação vetorial . Isso significa que:
  • A coordenada x é dada por .
  • A coordenada y é dada por .
Então, para cada valor de t, temos um ponto (x, y) no plano.

Passo 3

Vamos analisar como x e y se comportam conforme t varia:
  • Para : A função cosseno oscila entre -1 e 1. Mas como temos um negativo na frente, x oscila entre -1 e 1 invertendo o sinal, ou seja, entre 1 e -1.
  • Para : Isso significa que, conforme t aumenta, y aumenta linearmente. Não há limite para y; ele pode ir de -infinito a infinito.

Passo 4

Agora, vamos pensar em como esses dois comportamentos se combinam. Conforme t aumenta:
  • x oscila entre 1 e -1 de forma periódica, já que o cosseno é uma função periódica com período .
  • y simplesmente aumenta sem parar.
Isso cria um gráfico que parece uma linha pulsante verticalmente, onde x oscila enquanto y sobe.

Passo 5

Para desenhar o gráfico:
  1. Eixo y: Como vai de -infinito a infinito, desenhe uma linha vertical longa para representar todos os valores possíveis de y.
  2. Oscilação em x: Desenhe curvas onduladas que vão de x = 1 a repetidamente conforme você avança na direção positiva de y.

Passo 6

Sobre a direção:
  • Conforme t aumenta, y também aumenta. Então, as setas no gráfico devem apontar para cima, indicando que conforme você segue a curva, está indo para valores maiores de y.

Resposta

O gráfico da curva é uma linha vertical infinita com oscilações sinusoidais no eixo x entre 1 e -1. As setas indicam que, conforme t aumenta, a curva se desloca para cima no eixo y.

Exercícios relacionados