Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenhar o gráfico da curva definida pela equação vetorial
. Isso está relacionado ao estudo de curvas paramétricas no cálculo. Vamos precisar entender como as funções
e
trabalham juntas pra formar o gráfico e depois indicar a direção em que
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as componentes da equação vetorial
. Isso significa que:
- A coordenada
é dada por . - A coordenada
é dada por .
Então, para cada valor de
, temos um ponto
no plano.
Passo 3
Vamos analisar como
e
se comportam conforme
varia:
- Para
: A função cosseno oscila entre -1 e 1. Mas como temos um negativo na frente, oscila entre -1 e 1 invertendo o sinal, ou seja, entre 1 e -1. - Para
: Isso significa que, conforme aumenta, aumenta linearmente. Não há limite para ; ele pode ir de a .
Passo 4
Agora, vamos pensar em como esses dois comportamentos se combinam. Conforme
aumenta:
-
oscila entre 1 e -1 de forma periódica, já que o cosseno é uma função periódica com período . -
simplesmente aumenta sem parar.
Isso cria um gráfico que parece uma linha pulsante verticalmente, onde
oscila enquanto
sobe.
Passo 5
Para desenhar o gráfico:
- Eixo
: Como vai de a , desenhe uma linha vertical longa para representar todos os valores possíveis de . - Oscilação em
: Desenhe curvas onduladas que vão de a repetidamente conforme você avança na direção positiva de .
Passo 6
Sobre a direção:
- Conforme
aumenta, também aumenta. Então, as setas no gráfico devem apontar para cima, indicando que conforme você segue a curva, está indo para valores maiores de .
Resposta
O gráfico da curva
é uma linha vertical infinita com oscilações sinusoidais no eixo
entre 1 e -1. As setas indicam que, conforme
aumenta, a curva se desloca para cima no eixo
.
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Trace a projeção da curva sobre o plano indicado.
, plano
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
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Trace a projeção da curva sobre o plano indicado.
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