Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma curva definida por uma equação vetorial e indicar a direção em que o parâmetro aumenta. Isso envolve conceitos de vetores e parametrização de curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como separar as componentes do vetor e como essas componentes se relacionam para formar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da equação vetorial dada:
Aqui, temos três funções que descrevem as coordenadas , e em termos do parâmetro :

Passo 3

Observando a componente , percebemos que o valor de é sempre 3, independentemente do valor de . Isso indica que a curva está completamente restrita ao plano vertical onde no espaço tridimensional.

Passo 4

Agora, vamos analisar as componentes e . Essas funções relacionam e diretamente ao parâmetro . Para entender como isso afeta a curva, podemos eliminar e relacionar e diretamente:
Substituindo na expressão de :
Isso nos dá a equação da curva no plano :

Passo 5

A equação é a equação de uma parábola invertida no plano , com vértice no ponto . Isso significa que, no plano , a curva é uma parábola que se abre para baixo.

Passo 6

Para indicar a direção em que aumenta, observamos como e mudam conforme varia:
  • Conforme aumenta, também aumenta.
  • Para , conforme aumenta, aumenta, então diminui.
Isso significa que, ao longo da parábola, conforme avançamos no eixo , o valor de está diminuindo.

Resposta

A curva definida por é uma parábola vertical no plano . Ela tem seu vértice no ponto e se abre para baixo. Ao desenhar o gráfico, indique setas ao longo da parábola que vão na direção crescente de , ou seja, do vértice para os lados onde aumenta e diminui.

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Trace a projeção da curva sobre o plano indicado. , plano
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Desenhe a imagem de em que .