Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma curva definida por uma equação vetorial e indicar a direção em que o parâmetro
aumenta. Isso envolve conceitos de vetores e parametrização de curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como separar as componentes do vetor e como essas componentes se relacionam para formar a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da equação vetorial dada:
Aqui, temos três funções que descrevem as coordenadas
,
e
em termos do parâmetro
:
Passo 3
Observando a componente
, percebemos que o valor de
é sempre 3, independentemente do valor de
. Isso indica que a curva está completamente restrita ao plano vertical onde
no espaço tridimensional.
Passo 4
Agora, vamos analisar as componentes
e
. Essas funções relacionam
e
diretamente ao parâmetro
. Para entender como isso afeta a curva, podemos eliminar
e relacionar
e
diretamente:
Substituindo na expressão de
:
Isso nos dá a equação da curva no plano
:
Passo 5
A equação
é a equação de uma parábola invertida no plano
, com vértice no ponto
. Isso significa que, no plano
, a curva é uma parábola que se abre para baixo.
Passo 6
Para indicar a direção em que
aumenta, observamos como
e
mudam conforme
varia:
- Conforme
aumenta, também aumenta. - Para
, conforme aumenta, aumenta, então diminui.
Isso significa que, ao longo da parábola, conforme avançamos no eixo
, o valor de
está diminuindo.
Resposta
A curva definida por
é uma parábola vertical no plano
. Ela tem seu vértice no ponto
e se abre para baixo. Ao desenhar o gráfico, indique setas ao longo da parábola que vão na direção crescente de
, ou seja, do vértice para os lados onde
aumenta e
diminui.
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cresce.
Trace a projeção da curva sobre o plano indicado.
, plano
Trace a projeção da curva sobre o plano indicado.
, plano
Desenhe a imagem de
em que
.