Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
b) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o espaço percorrido por uma partícula que se move ao longo de uma curva definida por no intervalo de tempo . Vamos usar conceitos de cinemática e cálculo integral para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o espaço percorrido por uma partícula é a distância total que ela percorre ao longo do tempo. Para curvas paramétricas, essa distância é dada pela integral do módulo da velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos encontrar as componentes da velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, temos:

Passo 4

Agora, calculamos o módulo da velocidade, que é dado pela fórmula:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 6

Utilizando uma identidade trigonométrica, sabemos que:
Então:

Passo 7

Agora, para encontrar o espaço percorrido no intervalo , integramos a velocidade em relação ao tempo:

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , então ou :

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

O espaço percorrido pela partícula no intervalo é:

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
c)
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
f) .
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
d)
Sejam duas funções vetoriais e , demonstre que
Agora sendo e determine .