Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
b) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o espaço percorrido por uma partícula que se move ao longo de uma curva definida por
no intervalo de tempo
. Vamos usar conceitos de cinemática e cálculo integral para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o espaço percorrido por uma partícula é a distância total que ela percorre ao longo do tempo. Para curvas paramétricas, essa distância é dada pela integral do módulo da velocidade em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos encontrar as componentes da velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, temos:
Passo 4
Agora, calculamos o módulo da velocidade, que é dado pela fórmula:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 6
Utilizando uma identidade trigonométrica, sabemos que:
Então:
Passo 7
Agora, para encontrar o espaço percorrido
no intervalo
, integramos a velocidade em relação ao tempo:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, então
ou
:
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
O espaço percorrido pela partícula no intervalo
é:
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c)
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f) .
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d)
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Sejam duas funções vetoriais
e
, demonstre que
Agora sendo
e
determine
.