Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
d) r(t) = (cos^2(t), sen^2(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial r(t) = (cos^2(t), sen^2(t)) e indicar com setas a direção que o parâmetro t está crescendo. Vamos usar conhecimentos de trigonometria e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação vetorial r(t) = (cos^2(t), sen^2(t)). Aqui, e . Nosso objetivo é relacionar x e y para descobrir qual é a forma da curva.

Passo 3

Sabemos pela identidade trigonométrica que . Substituindo x e y, temos:
Isso nos dá a equação , que é uma linha reta.

Passo 4

Agora, vamos analisar os valores de x e y. Como e são sempre positivos e variam entre 0 e 1, os valores de x e y também estarão entre 0 e 1. Portanto, a curva está restrita ao segmento da reta no primeiro quadrante, indo de a .

Passo 5

Para entender a direção em que o parâmetro t cresce, vamos calcular alguns pontos:
  • Quando : , ponto
  • Quando : , ponto
  • Quando : , volta para
Isso mostra que à medida que t aumenta de 0 a pi, a curva vai de para , e de pi a , volta para , repetindo esse ciclo.

Passo 6

Com base nisso, ao esboçar o gráfico, desenhamos uma linha reta de a e adicionamos setas indicando a direção do movimento: de a conforme t aumenta de 0 a pi, e de volta para conforme t continua aumentando até .

Resposta

O gráfico da curva r(t) = (cos^2(t), sen^2(t)) é uma linha reta do ponto até . As setas indicam que, conforme o parâmetro t aumenta de 0 a pi, a direção vai de para , e de pi a , retorna de para , repetindo esse ciclo continuamente.

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