Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial
e indicar com setas a direção que o parâmetro
está crescendo. Vamos usar conhecimentos de trigonometria e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação vetorial
. Aqui,
e
. Nosso objetivo é relacionar
e
para descobrir qual é a forma da curva.
Passo 3
Sabemos pela identidade trigonométrica que
. Substituindo
e
, temos:
Isso nos dá a equação
, que é uma linha reta.
Passo 4
Agora, vamos analisar os valores de
e
. Como
e
são sempre positivos e variam entre 0 e 1, os valores de
e
também estarão entre 0 e 1. Portanto, a curva está restrita ao segmento da reta
no primeiro quadrante, indo de
a
.
Passo 5
Para entender a direção em que o parâmetro
cresce, vamos calcular alguns pontos:
- Quando
: , ponto - Quando
: , ponto - Quando
: , volta para
Isso mostra que à medida que
aumenta de
a
, a curva vai de
para
, e de
a
, volta para
, repetindo esse ciclo.
Passo 6
Com base nisso, ao esboçar o gráfico, desenhamos uma linha reta de
a
e adicionamos setas indicando a direção do movimento: de
a
conforme
aumenta de
a
, e de volta para
conforme
continua aumentando até
.
Resposta
O gráfico da curva
é uma linha reta do ponto
até
. As setas indicam que, conforme o parâmetro
aumenta de
a
, a direção vai de
para
, e de
a
, retorna de
para
, repetindo esse ciclo continuamente.
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Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
b) Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
c)
c)
Sejam duas funções vetoriais
e
, demonstre que
Agora sendo
e
determine
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
e)
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