Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial e indicar com setas a direção que o parâmetro está crescendo. Vamos usar conhecimentos de trigonometria e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação vetorial . Aqui, e . Nosso objetivo é relacionar e para descobrir qual é a forma da curva.

Passo 3

Sabemos pela identidade trigonométrica que . Substituindo e , temos:
Isso nos dá a equação , que é uma linha reta.

Passo 4

Agora, vamos analisar os valores de e . Como e são sempre positivos e variam entre 0 e 1, os valores de e também estarão entre 0 e 1. Portanto, a curva está restrita ao segmento da reta no primeiro quadrante, indo de a .

Passo 5

Para entender a direção em que o parâmetro cresce, vamos calcular alguns pontos:
  • Quando : , ponto
  • Quando : , ponto
  • Quando : , volta para
Isso mostra que à medida que aumenta de a , a curva vai de para , e de a , volta para , repetindo esse ciclo.

Passo 6

Com base nisso, ao esboçar o gráfico, desenhamos uma linha reta de a e adicionamos setas indicando a direção do movimento: de a conforme aumenta de a , e de volta para conforme continua aumentando até .

Resposta

O gráfico da curva é uma linha reta do ponto até . As setas indicam que, conforme o parâmetro aumenta de a , a direção vai de para , e de a , retorna de para , repetindo esse ciclo continuamente.

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
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Agora sendo e determine .
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
e)