Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o espaço percorrido por uma partícula que se move ao longo de uma curva definida pela função no intervalo de tempo . Estamos lidando com Cálculo Diferencial, especificamente com o conceito de comprimento de arco de uma curva paramétrica. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o espaço percorrido pela partícula corresponde ao comprimento da curva entre os instantes de tempo e . Para curvas paramétricas, o comprimento de arco pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui, e são as derivadas das componentes da função em relação a .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das componentes de :
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Usando a identidade trigonométrica , substituímos na integral:
Como t está no intervalo , é não negativo, então podemos eliminar o valor absoluto:
Passo 6
Agora, vamos integrar :
Portanto, o comprimento de arco é:
Simplificando:
Resposta
O espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t1, t2] é dado por: