Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
γ(t) = (t - sen(t), 1 - cos(t)), 0 <= t <= 2 pi
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t1, t2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o espaço percorrido por uma partícula que se move ao longo de uma curva definida pela função no intervalo de tempo [t1, t2]. Estamos lidando com Cálculo Diferencial, especificamente com o conceito de comprimento de arco de uma curva paramétrica. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o espaço percorrido pela partícula corresponde ao comprimento da curva entre os instantes de tempo t1 e t2. Para curvas paramétricas, o comprimento de arco S pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui, e são as derivadas das componentes da função gamma(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das componentes de gamma(t):

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Usando a identidade trigonométrica , substituímos na integral:
Como t está no intervalo , é não negativo, então podemos eliminar o valor absoluto:

Passo 6

Agora, vamos integrar :
Portanto, o comprimento de arco é:
Simplificando:

Resposta

O espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t1, t2] é dado por:

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