Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel , quando o parâmetro varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens: b) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico de uma curva definida por um ponto móvel quando o parâmetro varia em certos intervalos. Além disso, precisamos encontrar a equação cartesiana da curva para cada item. Vamos focar nos itens b e c.
Aqui, estamos lidando com funções paramétricas, onde e são expressos em termos de um parâmetro . Para resolver, vamos precisar entender como eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.
Passo 2
Vamos começar com o item b:
Aqui, temos as coordenadas e em termos de , e é constante em 2. Como não varia, a curva está em um plano paralelo ao eixo a uma altura de 2 unidades.
Passo 3
Para encontrar a equação cartesiana, queremos relacionar e sem o . Sabemos que:
Vamos usar as expressões para e :
Simplificando:
Essa é a equação de um círculo com raio 4 e centro na origem.
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico da curva do item b. Como a equação representa um círculo de raio 4, e , a curva é um círculo no plano .
Passo 5
Vamos passar para o item c:
Novamente, é constante em 2. Aqui, e são funções quadráticas e lineares de . Precisamos relacionar e sem .
Passo 6
Para eliminar o parâmetro , observamos que . Podemos resolver essa equação para :
Agora, substituímos na equação de :
Expandindo:
Essa é a equação cartesiana da curva.
Passo 7
Vamos esboçar o gráfico da curva do item c. A equação representa uma parábola que abre para cima, deslocada para a direita e para cima no plano .
Resposta
Item b: A equação cartesiana é e a curva é um círculo de raio 4 no plano .
Item c: A equação cartesiana é e a curva é uma parábola no plano .