Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
© f(x) = -ln(x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na função que você precisa analisar: . Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função e determinar o domínio (todos os valores de que fazem a função funcionar) e a imagem (todos os valores que pode assumir). Para isso, vamos precisar entender como a função logaritmo natural ( ) se comporta e como o sinal negativo e o deslocamento dentro do logaritmo afetam o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O logaritmo natural está definido apenas para números positivos. Ou seja, o que está dentro do tem que ser maior que zero:
Resolvendo essa inequação:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores que 1.

Passo 3

Agora, vamos pensar na imagem da função, que são todos os possíveis valores que pode assumir. Sabemos que (onde ) pode variar de a conforme varia de 0 a . Contudo, como temos um sinal negativo na frente do logaritmo, isso inverte os valores:
Então, quando vai para (quando cresce), vai para . E quando vai para (quando se aproxima de 0), vai para . Portanto, a imagem da função é também todos os números reais, de a .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função. Primeiro, lembre-se do gráfico de :
  • Passa pelo ponto
  • Cresce indefinidamente à medida que aumenta
  • Tende para conforme se aproxima de 0 pela direita
Agora, aplicando as transformações:
  1. Deslocamento horizontal: desloca o gráfico da função uma unidade para a direita. Isso faz com que o ponto de partida seja agora em vez de .
  2. Reflexão vertical: O sinal negativo na frente do logaritmo inverte o gráfico em relação ao eixo . Assim, onde o logaritmo cresce, agora ele decresce, e vice-versa.
Então, o gráfico de começa no ponto , desce indefinidamente à medida que aumenta e sobe indefinidamente conforme se aproxima de 1 pela direita.

Resposta

Domínio:
Imagem: Todos os números reais,
Gráfico: Um gráfico que começa no ponto , desce à medida que aumenta (devido ao sinal negativo), e tende a quando vai para , além de tender a quando se aproxima de 1 pela direita.

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Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
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