Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na função que você precisa analisar:
. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função e determinar o domínio (todos os valores de
que fazem a função funcionar) e a imagem (todos os valores que
pode assumir). Para isso, vamos precisar entender como a função logaritmo natural (
) se comporta e como o sinal negativo e o deslocamento dentro do logaritmo afetam o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O logaritmo natural está definido apenas para números positivos. Ou seja, o que está dentro do
tem que ser maior que zero:
Resolvendo essa inequação:
Então, o domínio da função
é todos os números reais maiores que 1.
Passo 3
Agora, vamos pensar na imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir. Sabemos que
(onde
) pode variar de
a
conforme
varia de 0 a
. Contudo, como temos um sinal negativo na frente do logaritmo, isso inverte os valores:
Então, quando
vai para
(quando
cresce),
vai para
. E quando
vai para
(quando
se aproxima de 0),
vai para
. Portanto, a imagem da função é também todos os números reais, de
a
.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função. Primeiro, lembre-se do gráfico de
:
- Passa pelo ponto
- Cresce indefinidamente à medida que
aumenta - Tende para
conforme se aproxima de 0 pela direita
Agora, aplicando as transformações:
- Deslocamento horizontal:
desloca o gráfico da função uma unidade para a direita. Isso faz com que o ponto de partida seja agora em vez de . - Reflexão vertical: O sinal negativo na frente do logaritmo inverte o gráfico em relação ao eixo
. Assim, onde o logaritmo cresce, agora ele decresce, e vice-versa.
Então, o gráfico de
começa no ponto
, desce indefinidamente à medida que
aumenta e sobe indefinidamente conforme
se aproxima de 1 pela direita.
Resposta
Domínio:
Imagem: Todos os números reais,
Gráfico: Um gráfico que começa no ponto
, desce à medida que
aumenta (devido ao sinal negativo), e tende a
quando
vai para
, além de tender a
quando
se aproxima de 1 pela direita.
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Descreva como transformar o gráfico de
no gráfico da função dada.
(d)
(d)
Resolva as equações:
(g)
(g)
Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(e)
(e)
Resolva as equações:
(d)
(d)