Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(e)
(e)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para esboçar o gráfico da função
, além de determinar o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções logarítmicas, entender suas transformações e propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função logarítmica básica é
, que está definida para
. O domínio dessa função é todos os números positivos reais, e sua imagem é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Agora, observamos que na nossa função
, temos duas transformações:
- Multiplicação por 3: Isso afeta a taxa de crescimento da função, tornando-a mais inclinada.
- Subtração de 1: Isso representa uma translação para baixo no gráfico.
Passo 4
Vamos determinar o domínio da função
. Como a função logarítmica básica
é definida para
, as transformações aplicadas não alteram esse domínio. Portanto, o domínio de
é:
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem da fun�o
. A função logarítmica básica tem imagem para todos os números reais. A multiplicação por 3 e a subtração de 1 são transformações que afetam a posição e a inclinação do gráfico, mas não restringem os valores que
pode assumir. Portanto, a imagem de
é:
Passo 6
Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns pontos chave da função transformada:
-
Interseção com o eixo y: Para encontrar, substituímos
(já que ): Então, o gráfico passa pelo ponto. -
Assíntota vertical: A assíntota vertical permanece em
, pois a função não está definida para . -
Comportamento: À medida que
aumenta, cresce lentamente, e multiplicando por 3, o gráfico sobe mais rapidamente em relação à função básica. A subtração de 1 desloca todo o gráfico para baixo.
Resposta
A função
tem domínio
e imagem
. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em
, passa pelo ponto
e cresce lentamente à medida que
aumenta, sendo mais inclinado que a função logarítmica básica devido ao fator 3 e deslocado 1 unidade para baixo.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
©
©
Descreva como transformar o gráfico de
no gráfico da função dada.
(d)
(d)
Resolva as equações:
(d)
(d)
Resolva as equações:
(h)
(h)