Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
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Passo 1
Vamos analisar a função
. Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e determinar seu domínio e imagem. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções exponenciais, entendendo como elas se comportam e quais são suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função exponencial. Uma função exponencial geral tem a forma
, onde
e
são constantes. No nosso caso,
e
. As funções exponenciais são conhecidas por seu crescimento ou decrescimento rápido, dependendo do sinal do expoente.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para funções exponenciais, a base
elevada a qualquer número real é sempre positiva e está bem definida. Portanto, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de
. Como
é sempre positivo para qualquer valor de
, multiplicando por 5, a função
também será sempre positiva. Além disso, quando
tende ao infinito positivo,
tende a zero, e quando
tende ao infinito negativo,
cresce sem limites. Portanto, a imagem da função é todos os números reais positivos.
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que o gráfico de
é uma curva exponencial decrescente. Alguns pontos importantes para desenhar o gráfico são:
- Intercepto com o eixo y: Quando
,
Portanto, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, 5).
-
Assíntota horizontal: Conforme
tende ao infinito positivo, tende a zero, mas nunca a alcança. Assim, a linha (eixo x) é uma assíntota horizontal. -
Comportamento da função: À medida que
aumenta, diminui rapidamente em direção a zero. À medida que diminui (valores negativos), cresce rapidamente.
Resposta
O domínio da função
é
e sua imagem é
. O gráfico da função é uma curva exponencial decrescente que intercepta o eixo y em (0, 5) e possui a assíntota horizontal
.