Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(d)
(d)
Passo 1
Vamos analisar a função
. Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e determinar seu domínio e imagem. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções exponenciais, entendendo como elas se comportam e quais são suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função exponencial. Uma função exponencial geral tem a forma
, onde
e
são constantes. No nosso caso,
e
. As funções exponenciais são conhecidas por seu crescimento ou decrescimento rápido, dependendo do sinal do expoente.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para funções exponenciais, a base
elevada a qualquer número real é sempre positiva e está bem definida. Portanto, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de
. Como
é sempre positivo para qualquer valor de
, multiplicando por 5, a função
também será sempre positiva. Além disso, quando
tende ao infinito positivo,
tende a zero, e quando
tende ao infinito negativo,
cresce sem limites. Portanto, a imagem da função é todos os números reais positivos.
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que o gráfico de
é uma curva exponencial decrescente. Alguns pontos importantes para desenhar o gráfico são:
- Intercepto com o eixo y: Quando
,
Portanto, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, 5).
-
Assíntota horizontal: Conforme
tende ao infinito positivo, tende a zero, mas nunca a alcança. Assim, a linha (eixo x) é uma assíntota horizontal. -
Comportamento da função: À medida que
aumenta, diminui rapidamente em direção a zero. À medida que diminui (valores negativos), cresce rapidamente.
Resposta
O domínio da função
é
e sua imagem é
. O gráfico da função é uma curva exponencial decrescente que intercepta o eixo y em (0, 5) e possui a assíntota horizontal
.
Exercícios relacionados
Use as propriedades para provar que duas das três funções exponenciais são idênticas.
(iii)
(iii)
Use as propriedades para provar que duas das três funções exponenciais são idênticas.
(ii)
(ii)
Calcule os logaritmos sem usar calculadora.
(e)
(e)
Calcule os logaritmos sem usar calculadora.
®
®