Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(d) f(x) = 5 * e^(-x)

Passo 1

Vamos analisar a função . Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e determinar seu domínio e imagem. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de funções exponenciais, entendendo como elas se comportam e quais são suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função exponencial. Uma função exponencial geral tem a forma , onde e são constantes. No nosso caso, e . As funções exponenciais são conhecidas por seu crescimento ou decrescimento rápido, dependendo do sinal do expoente.

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para funções exponenciais, a base elevada a qualquer número real é sempre positiva e está bem definida. Portanto, o domínio de é todos os números reais.
í

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de . Como é sempre positivo para qualquer valor de , multiplicando por 5, a função também será sempre positiva. Além disso, quando tende ao infinito positivo, tende a zero, e quando tende ao infinito negativo, cresce sem limites. Portanto, a imagem da função é todos os números reais positivos.

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que o gráfico de é uma curva exponencial decrescente. Alguns pontos importantes para desenhar o gráfico são:
  • Intercepto com o eixo y: Quando ,
Portanto, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, 5).
  • Assíntota horizontal: Conforme tende ao infinito positivo, tende a zero, mas nunca a alcança. Assim, a linha (eixo x) é uma assíntota horizontal.
  • Comportamento da função: À medida que aumenta, diminui rapidamente em direção a zero. À medida que diminui (valores negativos), cresce rapidamente.

Resposta

O domínio da função é e sua imagem é . O gráfico da função é uma curva exponencial decrescente que intercepta o eixo y em (0, 5) e possui a assíntota horizontal .

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