Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(a) f(x) = 3 * 2^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função , além de determinar o domínio e a imagem dela. Estamos lidando com funções exponenciais aqui, então vamos precisar entender o que são domínio (todos os possíveis valores de ) e imagem (todos os possíveis valores de ) para esse tipo de função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. No caso das funções exponenciais como , não há restrições: podemos elevar 2 a qualquer número real, seja ele positivo, negativo ou zero. Portanto, o domínio de é:
í
Ou seja, todos os números reais são permitidos para .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os possíveis valores de . Sabemos que é sempre positivo, já que qualquer número positivo elevado a uma potência real não dá zero ou negativo. Multiplicando por 3, que também é positivo, o resultado continua sendo positivo. Assim, a imagem da função é:
Isso significa que pode assumir qualquer valor real positivo, mas nunca será zero ou negativo.

Passo 4

Para esboçar o gráfico da função , vamos seguir alguns passos:
  1. Ponto de partida: Quando ,
    Então, o ponto (0, 3) está no gráfico.
  2. Crescimento exponencial: Como a base 2 é maior que 1, a função cresce rapidamente à medida que aumenta.
  3. Assíntota: A função nunca toca o eixo , então a linha é uma assíntota horizontal.
  4. Pontos adicionais:
    • Para :
    • Para :
Plote esses pontos no gráfico e desenhe a curva que se aproxima da assíntota conforme diminui, e que sobe rapidamente conforme aumenta.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:
  • Gráfico: Curva exponencial passando pelos pontos (0, 3), (1, 6) e (-1, 1.5), com assíntota em .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico e discuta a continuidade das seguintes funções: f(x) = { 0, x <= 0; x, x > 0 }
Simplifique: (x^3 - 8) / (x^2 - 4);
Descreva como transformar o gráfico de y = ln(x) no gráfico da função dada.
(a) f(x) = ln(x + 3)
Descreva como transformar o gráfico de f no gráfico de g.
(a) f(x) = 2^x, g(x) = 2^(x-3)