Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
, além de determinar o domínio e a imagem dela. Estamos lidando com funções exponenciais aqui, então vamos precisar entender o que são domínio (todos os possíveis valores de
) e imagem (todos os possíveis valores de
) para esse tipo de função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso das funções exponenciais como
, não há restrições: podemos elevar 2 a qualquer número real, seja ele positivo, negativo ou zero. Portanto, o domínio de
é:
Ou seja, todos os números reais são permitidos para
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os possíveis valores de
. Sabemos que
é sempre positivo, já que qualquer número positivo elevado a uma potência real não dá zero ou negativo. Multiplicando por 3, que também é positivo, o resultado continua sendo positivo. Assim, a imagem da função é:
Isso significa que
pode assumir qualquer valor real positivo, mas nunca será zero ou negativo.
Passo 4
Para esboçar o gráfico da função
, vamos seguir alguns passos:
-
Ponto de partida: Quando
, Então, o ponto (0, 3) está no gráfico. -
Crescimento exponencial: Como a base 2 é maior que 1, a função cresce rapidamente à medida que
aumenta. -
Assíntota: A função nunca toca o eixo
, então a linha é uma assíntota horizontal. -
Pontos adicionais:
- Para
: - Para
:
- Para
Plote esses pontos no gráfico e desenhe a curva que se aproxima da assíntota
conforme
diminui, e que sobe rapidamente conforme
aumenta.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Imagem:
- Gráfico: Curva exponencial passando pelos pontos (0, 3), (1, 6) e (-1, 1.5), com assíntota em
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico e discuta a continuidade das seguintes funções:
;
Simplifique:
;
Descreva como transformar o gráfico de
no gráfico da função dada.
(a)
(a)
Descreva como transformar o gráfico de
no gráfico de
.
(a)
(a)