Esboce o gráfico e discuta a continuidade das seguintes funções: f(x) = { 0, x <= 0; x, x > 0 }

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para a gente desenhar o gráfico da função f(x) definida por partes e também discutir a continuidade dela. Aqui, a matéria que vamos mexer é a função definida por partes e o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e verificar se não tem “quebras” no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x). Ela está dividida em duas partes:
  • Quando x <= 0, . Isso significa que, para todos os valores de x menores ou iguais a zero, a função tem o valor zero.
  • Quando , . Aqui, para valores de x maiores que zero, a função é igual a x, ou seja, uma linha reta com inclinação de 1.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico dessa função. Para x <= 0, como , temos uma linha horizontal no nível zero no lado esquerdo do gráfico. Para , como , a função é uma linha reta que começa no ponto onde x = 0 e sobe com inclinação de 1.

Passo 4

No ponto x = 0, precisamos verificar o comportamento da função para garantir que não há nenhuma quebra. Quando x se aproxima de zero pelo lado esquerdo ( x <= 0), f(x) tende a 0. Quando x se aproxima de zero pelo lado direito ( ), f(x) também tende a 0. Além disso, . Como os limites laterais são iguais ao valor da função nesse ponto, a função é contínua em x = 0.

Passo 5

Agora, vamos discutir a continuidade da função. A função f(x) é contínua em todos os pontos do seu domínio, pois não há nenhum ponto onde a função “salta” ou tenha uma quebra. Especificamente, no ponto de transição x = 0, vimos que a função permanece contínua.

Resposta

O gráfico de f(x) é uma linha horizontal no eixo x <= 0 e uma linha reta com inclinação 1 para . A função f(x) é contínua em todo o seu domínio.

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