Esboce o gráfico e discuta a continuidade das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para a gente desenhar o gráfico da função
definida por partes e também discutir a continuidade dela. Aqui, a matéria que vamos mexer é a função definida por partes e o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e verificar se não tem “quebras” no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela está dividida em duas partes:
- Quando
, . Isso significa que, para todos os valores de menores ou iguais a zero, a função tem o valor zero. - Quando
, . Aqui, para valores de maiores que zero, a função é igual a , ou seja, uma linha reta com inclinação de 1.
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico dessa função. Para
, como
, temos uma linha horizontal no nível zero no lado esquerdo do gráfico. Para
, como
, a função é uma linha reta que começa no ponto onde
e sobe com inclinação de 1.
Passo 4
No ponto
, precisamos verificar o comportamento da função para garantir que não há nenhuma quebra. Quando
se aproxima de zero pelo lado esquerdo (
),
tende a 0. Quando
se aproxima de zero pelo lado direito (
),
também tende a 0. Além disso,
. Como os limites laterais são iguais ao valor da função nesse ponto, a função é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos discutir a continuidade da função. A função
é contínua em todos os pontos do seu domínio, pois não há nenhum ponto onde a função “salta” ou tenha uma quebra. Especificamente, no ponto de transição
, vimos que a função permanece contínua.
Resposta
O gráfico de
é uma linha horizontal no eixo
e uma linha reta com inclinação 1 para
. A função
é contínua em todo o seu domínio.
Exercícios relacionados
Simplifique:
;
Estude os sinais das expresões:
;
Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(a)
(a)
Descreva como transformar o gráfico de
no gráfico da função dada.
(a)
(a)