Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(f) f(x) = 5 * ln(2 - x) - 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função e determinar tanto o domínio quanto a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e suas propriedades para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos um logaritmo natural , o argumento dentro dele precisa ser maior que zero. Então, vamos resolver a desigualdade:

Passo 3

Resolvendo a desigualdade:
Então, o domínio de é todos os números reais menores que 2, ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de . Sabendo que a função logarítmica pode assumir qualquer valor real, multiplicando por 5 e subtraindo 3 não restringe isso. Portanto, a imagem é todo o conjunto dos números reais, .

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos analisar alguns pontos importantes:
  1. Assíntota Vertical: O logaritmo tem uma assíntota vertical onde o argumento é zero, ou seja, . Isso significa que o gráfico se aproxima verticalmente de mas nunca toca essa linha.
  2. Intercepto com o Eixo das Ordenadas: Para encontrar onde :
  1. Comportamento Geral: Como o coeficiente de é positivo, o gráfico cresce à medida que se aproxima de 2 pela esquerda. O termo desloca o gráfico 3 unidades para baixo.

Passo 6

Vamos plotar alguns pontos adicionais para ter uma ideia melhor:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Com esses pontos, podemos desenhar uma curva que passa por (0, 0,465), (1, -3), (1,5, -6,465) e se aproxima de .

Resposta

O domínio da função é , a imagem é , e o gráfico de possui uma assíntota vertical em , passando pelos pontos (0, 0,465), (1, -3) e (1,5, -6,465), crescendo conforme se aproxima de 2 pela esquerda.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(a) f(x) = log(x - 2)
Descreva como transformar o gráfico de y = ln(x) no gráfico da função dada.
(b) f(x) = ln(x) + 2
Resolva as equações:
(e) 4^x + 5 * 2^x + 4 = 0
Resolva as equações:
(b) log2(x) = log4(x + 6)