Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
e determinar tanto o domínio quanto a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e suas propriedades para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos um logaritmo natural
, o argumento dentro dele precisa ser maior que zero. Então, vamos resolver a desigualdade:
Passo 3
Resolvendo a desigualdade:
Então, o domínio de
é todos os números reais menores que 2, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
. Sabendo que a função logarítmica
pode assumir qualquer valor real, multiplicando por 5 e subtraindo 3 não restringe isso. Portanto, a imagem é todo o conjunto dos números reais,
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos analisar alguns pontos importantes:
-
Assíntota Vertical: O logaritmo tem uma assíntota vertical onde o argumento é zero, ou seja,
. Isso significa que o gráfico se aproxima verticalmente de mas nunca toca essa linha. -
Intercepto com o Eixo das Ordenadas: Para encontrar onde
:
- Comportamento Geral: Como o coeficiente de
é positivo, o gráfico cresce à medida que se aproxima de 2 pela esquerda. O termo desloca o gráfico 3 unidades para baixo.
Passo 6
Vamos plotar alguns pontos adicionais para ter uma ideia melhor:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Com esses pontos, podemos desenhar uma curva que passa por (0, 0,465), (1, -3), (1,5, -6,465) e se aproxima de
.
Resposta
O domínio da função é
, a imagem é
, e o gráfico de
possui uma assíntota vertical em
, passando pelos pontos (0, 0,465), (1, -3) e (1,5, -6,465), crescendo conforme
se aproxima de 2 pela esquerda.
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(a)
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no gráfico da função dada.
(b)
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(e)
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(b)
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