Esboce o gráfico e determine o domínio, a imagem e o período das seguinte funções.

Passo 1

Beleza! Então, o exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função e determinar o domínio, a imagem e o período dessa função. Vamos usar conhecimentos de funções trigonometricas, especialmente do cosseno, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da função faz. A função básica aqui é . Sabemos que o gráfico da função cosseno é uma onda que varia entre -1 e 1, com um período de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função :
  • Translação horizontal: significa que a função cosseno foi deslocada para a direita em .
  • Translação vertical: O “+1” fora do cosseno eleva o gráfico inteiro 1 unidade para cima.

Passo 4

Vamos determinar o domínio da função. Como a função cosseno está definida para todos os números reais, o domínio de também é:
í

Passo 5

A imagem da função é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Sabemos que varia entre -1 e 1. Então:
Portanto, a imagem é:

Passo 6

O período da função cosseno é . Como não há coeficiente multiplicando dentro do cosseno, o período da função permanece .

Passo 7

Agora, vamos esboçar o gráfico:
  1. Ponto de Início: A função cosseno padrão começa em 1 quando . Com a translação horizontal, ela começa em .
  2. Amplitude: A amplitude da função é 1, mas como foi deslocada verticalmente por +1, ela varia de 0 a 2.
  3. Período: O ciclo completo se repete a cada .
O gráfico será uma onda do cosseno iniciando em , oscilando entre 0 e 2, com um período de .

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Período:

Gráfico

Gráfico de g(x) = 1 + cos(x - π/4)
(Nota: Substitua o link da imagem pelo gráfico real da função.)

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