Esboce o gráfico e determine o domínio, a imagem e o período das seguinte funções.
Passo 1
Beleza! Então, o exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
e determinar o domínio, a imagem e o período dessa função. Vamos usar conhecimentos de funções trigonometricas, especialmente do cosseno, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da função faz. A função básica aqui é
. Sabemos que o gráfico da função cosseno é uma onda que varia entre -1 e 1, com um período de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
:
- Translação horizontal:
significa que a função cosseno foi deslocada para a direita em . - Translação vertical: O “+1” fora do cosseno eleva o gráfico inteiro 1 unidade para cima.
Passo 4
Vamos determinar o domínio da função. Como a função cosseno está definida para todos os números reais, o domínio de
também é:
Passo 5
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Sabemos que
varia entre -1 e 1. Então:
Portanto, a imagem é:
Passo 6
O período da função cosseno é
. Como não há coeficiente multiplicando
dentro do cosseno, o período da função
permanece
.
Passo 7
Agora, vamos esboçar o gráfico:
- Ponto de Início: A função cosseno padrão começa em 1 quando
. Com a translação horizontal, ela começa em . - Amplitude: A amplitude da função é 1, mas como foi deslocada verticalmente por +1, ela varia de 0 a 2.
- Período: O ciclo completo se repete a cada
.
O gráfico será uma onda do cosseno iniciando em
, oscilando entre 0 e 2, com um período de
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Período:
Gráfico
![Gráfico de g(x) = 1 + cos(x - π/4)](https://i.imgur.com/SeuGraficoExemplo.png)
(Nota: Substitua o link da imagem pelo gráfico real da função.)
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, onde
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