Esboce o gráfico e determine o domínio, a imagem e o período das seguinte funções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função e determinar três características principais: o domínio, a imagem e o período. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções trigonométricas, especificamente a função seno, e como suas transformações afetam o gráfico.

Passo 2

Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função seno, , ela está definida para todos os números reais. Como não temos nenhuma operação que restrinja o domínio (como uma divisão por zero ou raiz de número negativo), o domínio de também é todos os números reais.
Domínio: (todos os números reais).

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. A função seno básica, , tem uma imagem que varia entre -1 e 1. Quando multiplicamos a função seno por 3, estamos escalando seus valores, então a nova imagem será de -3 a 3.
Imagem: .

Passo 4

Vamos determinar o período da função. O período é o intervalo em que a função completa um ciclo completo antes de se repetir. A função seno básica, , tem um período de . Quando a função seno é multiplicada por 2 no argumento, como em , o período é reduzido. A fórmula para encontrar o novo período é:
í
onde é o coeficiente de . No nosso caso, , então:
í
Período: .

Passo 5

Agora que já temos o domínio, a imagem e o período, vamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que o gráfico será uma onda senoidal com amplitude 3, oscilando entre -3 e 3, e repetindo-se a cada unidades no eixo .
  1. Amplitude: É o valor absoluto do coeficiente multiplicador da função seno, ou seja, 3.
  2. Período: Já calculamos como .
  3. Centro da onda: Como não há nenhuma translação vertical, o centro está no eixo .
Esboço do Gráfico:
  • O gráfico começa no ponto (0, 0).
  • No ponto , atinge o valor máximo de 3.
  • No ponto , retorna ao valor 0.
  • No ponto , atinge o valor mínimo de -3.
  • No ponto , retorna novamente ao valor 0.
  • Esse padrão se repete para os próximos ciclos.

Resposta

Domínio: (todos os números reais).
Imagem: .
Período: .
O gráfico da função é uma onda senoidal com amplitude 3, oscilando entre -3 e 3, e repetindo-se a cada unidades no eixo .

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