Esboce o gráfico e determine o domínio, a imagem e o período das seguinte funções.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função e determinar três características principais: o domínio, a imagem e o período. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções trigonométricas, especificamente a função seno, e como suas transformações afetam o gráfico.
Passo 2
Vamos começar determinando o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função seno, , ela está definida para todos os números reais. Como não temos nenhuma operação que restrinja o domínio (como uma divisão por zero ou raiz de número negativo), o domínio de também é todos os números reais.
Domínio:
(todos os números reais).
Passo 3
Agora, vamos descobrir a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. A função seno básica, , tem uma imagem que varia entre -1 e 1. Quando multiplicamos a função seno por 3, estamos escalando seus valores, então a nova imagem será de -3 a 3.
Imagem:
.
Passo 4
Vamos determinar o período da função. O período é o intervalo em que a função completa um ciclo completo antes de se repetir. A função seno básica, , tem um período de
. Quando a função seno é multiplicada por 2 no argumento, como em , o período é reduzido. A fórmula para encontrar o novo período é:
onde
é o coeficiente de
. No nosso caso,
, então:
Período:
.
Passo 5
Agora que já temos o domínio, a imagem e o período, vamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que o gráfico será uma onda senoidal com amplitude 3, oscilando entre -3 e 3, e repetindo-se a cada
unidades no eixo
.
- Amplitude: É o valor absoluto do coeficiente multiplicador da função seno, ou seja, 3.
- Período: Já calculamos como
. - Centro da onda: Como não há nenhuma translação vertical, o centro está no eixo
.
Esboço do Gráfico:
- O gráfico começa no ponto (0, 0).
- No ponto
, atinge o valor máximo de 3. - No ponto
, retorna ao valor 0. - No ponto
, atinge o valor mínimo de -3. - No ponto
, retorna novamente ao valor 0. - Esse padrão se repete para os próximos ciclos.
Resposta
Domínio:
(todos os números reais).
Imagem:
.
Período:
.
O gráfico da função é uma onda senoidal com amplitude 3, oscilando entre -3 e 3, e repetindo-se a cada
unidades no eixo
.
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Um supermercado, que fica aberto 24 hioras por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica
, onde
é o número de clientes e
, a hora da observação (
pe um inteiro tal que
. Utilizando essa função, qual a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo?