integral sen 2 x d x(1+cos 2 x)^2. Resp. 12(1+cos 2 x), because

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração ao simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável u da seguinte forma:
u = 1 + cos 2x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx, para substituir na integral. Derivando u:
Isso implica que:

Passo 4

Queremos expressar sen 2x , dx em termos de du. Reorganizando a equação anterior:
sen 2x , dx = -12 du

Passo 5

Agora, substituímos sen 2x , dx e 1 + cos 2x na integral original com du e u, respectivamente:
Isso simplifica para:
integral sen 2x , dx(1 + cos 2x)^2 = integral -12 duu^2

Passo 6

Vamos integrar u^-2 em relação a u. A integral de u^n é u^n+1n+1, desde que n neq -1. Aplicando isso:
-12 cdot ( u^-1-1 ) + C = 12 u^-1 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para expressar a resposta em termos de x:
12u + C = 12(1 + cos 2x) + C

Resposta

A integral é igual a integral sen 2x , dx(1 + cos 2x)^2.

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