Seja R a região delimitada pelos gráficos das funções y = sen(pi x) e y = x^2 - x, com x em [0,1].
Faça um esboço de R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções: e , definidas no intervalo de . O objetivo é desenhar um esboço da região que é delimitada por essas duas curvas nesse intervalo. Para isso, vamos precisar plotar ambas as funções no mesmo gráfico e identificar onde elas se cruzam dentro desse intervalo.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira função: . Essa é a função seno, mas com um multiplicador na variável , o que afeta o período da função. O período do seno padrão é , então com , o novo período será . Contudo, como estamos considerando apenas entre 0 e 1, vamos traçar uma parte do gráfico que vai de a .

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda função: . Essa é uma função quadrática, representando uma parábola. Podemos reescrevê-la como , o que nos mostra que a parábola intercepta o eixo nos pontos e . No intervalo de 0 a 1, a parábola estará abaixo do eixo .

Passo 4

Para desenhar o esboço, precisamos plotar ambas as funções no mesmo gráfico. Vamos traçar o eixo de 0 a 1 e o eixo com valores que acomodem as duas funções. Isso significa que o eixo deve ir, pelo menos, de -0.5 a 1 para capturar todos os pontos importantes das funções.

Passo 5

Vamos calcular alguns pontos para cada função para ajudar no desenho:
Para :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Para :
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Passo 6

Com esses pontos, podemos desenhar as curvas:
  • A curva de começa em , atinge o ponto mais alto em e retorna a , formando uma semisenoidal.
  • A curva de começa em , desce para e retorna a , formando uma parábola que abre para cima.

Passo 7

A região é o espaço entre essas duas curvas no intervalo de de 0 a 1. Vamos sombrear a área onde a função seno está acima da parábola, ou seja, entre as curvas desde até .

Resposta

O esboço da região consiste nas duas curvas e traçadas no intervalo , com a área entre elas sombreada, mostrando claramente que o seno está acima da parábola nesse intervalo.

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