Seja
a região delimitada pelos gráficos das funções
e
.
Faça um esboço de
.
Faça um esboço de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
e
, definidas no intervalo de
. O objetivo é desenhar um esboço da região
que é delimitada por essas duas curvas nesse intervalo. Para isso, vamos precisar plotar ambas as funções no mesmo gráfico e identificar onde elas se cruzam dentro desse intervalo.
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira função:
. Essa é a função seno, mas com um multiplicador
na variável
, o que afeta o período da função. O período do seno padrão é
, então com
, o novo período será
. Contudo, como estamos considerando apenas
entre 0 e 1, vamos traçar uma parte do gráfico que vai de
a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda função:
. Essa é uma função quadrática, representando uma parábola. Podemos reescrevê-la como
, o que nos mostra que a parábola intercepta o eixo
nos pontos
e
. No intervalo de 0 a 1, a parábola estará abaixo do eixo
.
Passo 4
Para desenhar o esboço, precisamos plotar ambas as funções no mesmo gráfico. Vamos traçar o eixo
de 0 a 1 e o eixo
com valores que acomodem as duas funções. Isso significa que o eixo
deve ir, pelo menos, de -0.5 a 1 para capturar todos os pontos importantes das funções.
Passo 5
Vamos calcular alguns pontos para cada função para ajudar no desenho:
Para
:
- Em
: - Em
: - Em
:
Para
:
- Em
: - Em
: - Em
:
Passo 6
Com esses pontos, podemos desenhar as curvas:
-
A curva de
começa em , atinge o ponto mais alto em e retorna a , formando uma semisenoidal. -
A curva de
começa em , desce para e retorna a , formando uma parábola que abre para cima.
Passo 7
A região
é o espaço entre essas duas curvas no intervalo de
de 0 a 1. Vamos sombrear a área onde a função seno está acima da parábola, ou seja, entre as curvas desde
até
.
Resposta
O esboço da região
consiste nas duas curvas
e
traçadas no intervalo
, com a área entre elas sombreada, mostrando claramente que o seno está acima da parábola nesse intervalo.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Para cada função abaixo determine a função inversa (não esqueça indicar o domínio dela)
a)
a)
Verifique se a função é par ou ímpar.
b)
b)
Resolva as equações exponenciais:
e)
e)