Onde a reta normal à parábola z = x^2 + y^2 no ponto (1, 1, 2) intercepta o parabolóide uma segunda vez?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica envolvendo paraboloides. A questão nos pede para encontrar onde a reta normal à parábola no ponto intercepta novamente o parabolóide. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a reta normal a uma superfície em um ponto específico e depois determinar onde essa reta cruza novamente a superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta normal ao paraboloide no ponto dado . A reta normal a uma superfície em um ponto é determinada pelo vetor normal à superfície nesse ponto. Para encontrar o vetor normal, vamos calcular o gradiente da função que define o paraboloide.
A função que define o paraboloide é:
Podemos reescrevê-la como:
O gradiente de , , nos dá o vetor normal à superfície:
No ponto , o vetor normal é:

Passo 3

Agora que temos o vetor normal , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal. A reta passa pelo ponto e tem a direção do vetor normal. Assim, as equações paramétricas da reta são:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 4

Para encontrar onde essa reta intercepta novamente o paraboloide, substituímos as equações paramétricas da reta na equação do paraboloide:
Substituindo:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .
Expandindo os termos:
Rearranjando os termos:
Fatorando:
As soluções são e . O valor corresponde ao ponto inicial , então estamos interessados em .

Passo 5

Agora, substituímos nas equações paramétricas da reta para encontrar o ponto de interseção:

Resposta

A reta normal intercepta o paraboloide novamente no ponto .

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