Esboce o gráfico da equação para
em um sistema de coordenadas e para
em outro sistema de coordenadas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da equação
para valores de
em um sistema de coordenadas e para
em outro sistema. O conteúdo envolvido aqui é sobre funções racionais e como o valor do expoente
afeta o comportamento do gráfico. Precisaremos entender como diferentes valores de
alteram a forma da função e quais características observar ao desenhá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de uma forma mais fácil de entender. Sabemos que
é igual a
, então a função fica:
Isso significa que o valor de
depende de
elevado ao expoente
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores de
que são ímpares (
) e para valores pares (
) separadamente, já que o comportamento será diferente em cada caso.
Passo 4
Para
e
(exponentes ímpares):
- Quando
é positivo, será positivo porque estamos dividindo 2 por um número positivo. - Quando
é negativo, será negativo porque estamos dividindo 2 por um número negativo (já que um número ímpar elevado a um negativo continua negativo). - O gráfico terá simetria central, ou seja, se você girar o gráfico 180 graus, ele ficará igual a ele mesmo.
- Existe uma assíntota vertical em
porque o valor de tende ao infinito quando se aproxima de zero. - À medida que
aumenta ou diminui (tende ao infinito positivo ou negativo), tende a zero.
Passo 5
Para
e
(exponentes pares):
- Quando
é positivo, será positivo. - Quando
é negativo, também será positivo, já que um número par elevado a qualquer potência é positivo. - O gráfico terá simetria em relação ao eixo
. - Existe uma assíntota vertical em
porque o valor de tende ao infinito quando se aproxima de zero. - À medida que
aumenta ou diminui (tende ao infinito positivo ou negativo), tende a zero.
Passo 6
Vamos resumir as características para facilitar o esboço:
-
Para
: - Dois ramos do gráfico: um no primeiro quadrante (quando
e são positivos) e outro no terceiro quadrante (quando e são negativos). - Assíntota vertical em
. - O gráfico se aproxima do eixo
conforme tende ao infinito positivo ou negativo.
- Dois ramos do gráfico: um no primeiro quadrante (quando
-
Para
: - Dois ramos do gráfico, ambos no primeiro e segundo quadrantes (sempre positivos).
- Assíntota vertical em
. - O gráfico se aproxima do eixo
conforme tende ao infinito positivo ou negativo.
Resposta
Agora você pode esboçar os gráficos seguindo as características descritas: para
desenhe os ramos nos quadrantes I e III com assíntota em
, e para
desenhe os ramos nos quadrantes I e II com assíntota em
. Ambos os gráficos se aproximam do eixo
à medida que
aumenta ou diminui.
Exercícios relacionados
Preencha os espaços em branco para cada uma das Equações Diferenciais.
Equação Diferencial | Ordinária ou Parcial | Ordem | Grau |
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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Um modelo para a área da superfície de um corpo humano é dado pela função
onde
é o peso (em libras),
é a altura (em polegadas) e
é medida em pés quadrados.
Encontre e interprete-a.
Encontre
Esboce o gráfico da equação para
em um sistema de coordenadas e para
em outro sistema de coordenadas.
Determine o domínio natural e a imagem da função algebricamente.