Esboce o gráfico da equação para em um sistema de coordenadas e para em outro sistema de coordenadas.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da equação para valores de em um sistema de coordenadas e para em outro sistema. O conteúdo envolvido aqui é sobre funções racionais e como o valor do expoente afeta o comportamento do gráfico. Precisaremos entender como diferentes valores de alteram a forma da função e quais características observar ao desenhá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais fácil de entender. Sabemos que é igual a , então a função fica:
Isso significa que o valor de depende de elevado ao expoente .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores de que são ímpares ( ) e para valores pares ( ) separadamente, já que o comportamento será diferente em cada caso.

Passo 4

Para e (exponentes ímpares):
  • Quando é positivo, será positivo porque estamos dividindo 2 por um número positivo.
  • Quando é negativo, será negativo porque estamos dividindo 2 por um número negativo (já que um número ímpar elevado a um negativo continua negativo).
  • O gráfico terá simetria central, ou seja, se você girar o gráfico 180 graus, ele ficará igual a ele mesmo.
  • Existe uma assíntota vertical em porque o valor de tende ao infinito quando se aproxima de zero.
  • À medida que aumenta ou diminui (tende ao infinito positivo ou negativo), tende a zero.

Passo 5

Para e (exponentes pares):
  • Quando é positivo, será positivo.
  • Quando é negativo, também será positivo, já que um número par elevado a qualquer potência é positivo.
  • O gráfico terá simetria em relação ao eixo .
  • Existe uma assíntota vertical em porque o valor de tende ao infinito quando se aproxima de zero.
  • À medida que aumenta ou diminui (tende ao infinito positivo ou negativo), tende a zero.

Passo 6

Vamos resumir as características para facilitar o esboço:
  • Para :
    • Dois ramos do gráfico: um no primeiro quadrante (quando e são positivos) e outro no terceiro quadrante (quando e são negativos).
    • Assíntota vertical em .
    • O gráfico se aproxima do eixo conforme tende ao infinito positivo ou negativo.
  • Para :
    • Dois ramos do gráfico, ambos no primeiro e segundo quadrantes (sempre positivos).
    • Assíntota vertical em .
    • O gráfico se aproxima do eixo conforme tende ao infinito positivo ou negativo.

Resposta

Agora você pode esboçar os gráficos seguindo as características descritas: para desenhe os ramos nos quadrantes I e III com assíntota em , e para desenhe os ramos nos quadrantes I e II com assíntota em . Ambos os gráficos se aproximam do eixo à medida que aumenta ou diminui.

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4
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